二次函數在閉區間上的最值是高中數學中出現最多的題型，好多問題通過轉化最後歸結為求二次函數在閉區間上的最值。
二次函數在閉區間上的最值，與拋物線的開口方向和對稱軸在區間上的位置有關。以開口向上的拋物線為例，給定區間[m，n]，對稱軸可能在區間上，也可能位於區間的左右兩側，分三種情況討論：
一、最小值的求法
(1)區間[m，n]在對稱軸的左側，如圖1，函數f(X)在區間[m，n]上單調遞減，最小值為f(n)；
(2)區間[m，n]在對稱軸的右側，如圖2，函數f(X)在區間[m，n]上單調遞增，最小值為f(m)；
(3)對稱軸在區間[m，n]內，如圖3，函數f(X)在區間[m，n]內先減後增，最小值在頂點處取得。
二、最大值的求法
因為拋物線開口向上，最大值只可能在端點處取得。若對稱軸X>(m+n)/2，則最大值為f(m)；若對稱軸X
若拋物線開口向下，類比得出。
例1.求二次函數f(X)=X²一2Ⅹ+2，X∈[t，t+1]的最小值。
[思路探尋]對稱軸確定，區間在移動，可移動到對稱軸的左邊、右邊、包含對稱軸，依單調性求出最小值。
[解析]當t+1≤1即t≤O時，函數在區間[t，t+1]上單調遞減，最小值m=f(t+1)=t²+1；
當t≥1時，函數在區間[t，t+1]上單調遞增，最小值
m=f(t)=t²一2t+2；
當t<1 [遷移]例1條件不變，改為求最大值。 [略解]f(t)一f(t+1)=t²一2t+2一[(t+1)²一2(t+1)+2=一2t+1 當一2t+1≥0即t≤1/2時，f(t)>f(t+1)，最大值M=f(t)=t²一2t+2； 當一2t+1 得 例2、求二次函數f(Ⅹ)=X²一2aX一1(X∈[0，2])的最大值。 [思路探尋]拋物線開口向上，最大值只可能在端點處得到。 [解析]f(2)一f(0)=4(1一a)， 當a<1時，f(2)>f(0)， 最大值M=f(2)=3一4a； 當a≥1時，f(2) 最大值M=f(0)=一1。 例3函數f(×)=X²+2X+3，X∈[m，O](m [思路探尋]拋物線開口向上，對稱軸X=一1，f(0)=f(一2)=2， f(一1)=3，作圖觀察易知一2≤m≤一1。 (解略) 例4.設a>0，函數f(X)=一X²一aX+b+1(X∈[一1，1])的最大值為0，最小值為一4，求a，b的值。 [思路探尋]拋物線開口向下，對稱軸X=一a/2 [解析]當a≥2時一a/2≤一1，對稱軸在區間左邊，函數f(X)在區間[一1，1]上單調遞減，得f(一1)=0且f(1)=一4，求得a=2，b=一2； 當O
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