二次函数在闭区间上的最值是高中数学中出现最多的题型,好多问题通过转化最后归结为求二次函数在闭区间上的最值。
二次函数在闭区间上的最值,与抛物线的开口方向和对称轴在区间上的位置有关。以开口向上的抛物线为例,给定区间[m,n],对称轴可能在区间上,也可能位于区间的左右两侧,分三种情况讨论:
一、最小值的求法
(1)区间[m,n]在对称轴的左侧,如图1,函数f(X)在区间[m,n]上单调递减,最小值为f(n);
(2)区间[m,n]在对称轴的右侧,如图2,函数f(X)在区间[m,n]上单调递增,最小值为f(m);
(3)对称轴在区间[m,n]内,如图3,函数f(X)在区间[m,n]内先减后增,最小值在顶点处取得。
二、最大值的求法
因为抛物线开口向上,最大值只可能在端点处取得。若对称轴X>(m+n)/2,则最大值为f(m);若对称轴X
若抛物线开口向下,类比得出。
例1.求二次函数f(X)=X²一2Ⅹ+2,X∈[t,t+1]的最小值。
[思路探寻]对称轴确定,区间在移动,可移动到对称轴的左边、右边、包含对称轴,依单调性求出最小值。
[解析]当t+1≤1即t≤O时,函数在区间[t,t+1]上单调递减,最小值m=f(t+1)=t²+1;
当t≥1时,函数在区间[t,t+1]上单调递增,最小值
m=f(t)=t²一2t+2;
当t<1 [迁移]例1条件不变,改为求最大值。 [略解]f(t)一f(t+1)=t²一2t+2一[(t+1)²一2(t+1)+2=一2t+1 当一2t+1≥0即t≤1/2时,f(t)>f(t+1),最大值M=f(t)=t²一2t+2; 当一2t+1 得 例2、求二次函数f(Ⅹ)=X²一2aX一1(X∈[0,2])的最大值。 [思路探寻]抛物线开口向上,最大值只可能在端点处得到。 [解析]f(2)一f(0)=4(1一a), 当a<1时,f(2)>f(0), 最大值M=f(2)=3一4a; 当a≥1时,f(2) 最大值M=f(0)=一1。 例3函数f(×)=X²+2X+3,X∈[m,O](m [思路探寻]抛物线开口向上,对称轴X=一1,f(0)=f(一2)=2, f(一1)=3,作图观察易知一2≤m≤一1。 (解略) 例4.设a>0,函数f(X)=一X²一aX+b+1(X∈[一1,1])的最大值为0,最小值为一4,求a,b的值。 [思路探寻]抛物线开口向下,对称轴X=一a/2 [解析]当a≥2时一a/2≤一1,对称轴在区间左边,函数f(X)在区间[一1,1]上单调递减,得f(一1)=0且f(1)=一4,求得a=2,b=一2; 当O
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