函数的最值定理
1、如果对于任意的X∈D,都有f(x)≤M,且存在Xo∈D,使f(Xo)=M,则称M为f(x)在D上的最大值;
如果对于任意的X∈D,都有f(X)≥M,且存在Xo∈D,使f(Xo)=M,则称M为f(×)在D上的最小值。
2、闭区间上的函数f(x)必定存在最大值和最小值。若函数在D上单调,则最值在端点处取得;若不单调,则一定不能用端点的函数值代替。用端点函数值代替最值是学生常常出现的高频错误,纠错方法最简单,就是利用函数的单调性。
3、函数的最值与值域是不一样的。函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。函数的值域为闭区间[a,b],则a为最小值,b为最大值;函数的值域开区间(a,b),a不是最小值,b也不是最大值,此时函数没有最大值也没有最小值。函数的值域为[a,b),函数有最小值a,没有最大值;函数的值域为(a,b],函数有最大值b没有最小值。
题型一:用单调性求具体函数的最值
例:求函数f(×)=x/(X一1)在区间[2,5]上的最值。
习惯性错误:最小值f(2)=2,最大值f(5)=5/4。显然不对。错点是用端点函数值代替最值。
纠错:
f(X)=(X一1+1)/(X一1)=1+1/(X一1)在[2,5]上单调递减,所以f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(5)=5/4。
题型二:对勾函数的最值
对勾函数是一个极其重要的函数模型,其图象和单调性必须要熟练掌握。
例.已知a>0,函数f(x)=x+a/X(x>0).
(1)用定义探求该函数的单调区间,指出其在相应区间上的单调性;
(2)若已知该函数的最小值是a-8,求实数a的值
[思路探寻]先用定义法求出f(x)的单调区间,研究其单调性,利用第(1)问的结论求出最值,最后求实数a。
[解析](1)设x1、x2是任意两个正数,且X1 f(X1)-f(X2)=……= (x1一X2)(X1X2一a)/X1X2 (此时X1X2一a无法确定正负号,要讨论) 当0 又x1ーx2<0,所以f(x1)ーf(x2)>0,即f(X1)>f(X2),所以函数f(x)在(0,√a)上单调递减; 而当√a≤X1 又x1ーx2<0,所以f(X1)一f(X2)<0,即f(X1) (2)由(1)知该函数的最小值是f(√a)=2√a,依题意,a-8=2√a, 所以(√a)²-2√a-8=0, 解得√a=4(√a=-2舍去) 所以所求的实数a=16。 [同步跟踪] 求函数y=X²一1+4/(X²一1)(0≤x<1)的最值。 [思路探寻]令X²一1=t(一1≤t [解析]令1ーX²=t,∵0≤X<1, ∴一1≤t<0,y=t+4/t, ∵y=t+4/t在[一1,0)上单调递减,(用单调性定义证明,高二可用导数求得)。 ∴y=t+4/t在[一1,0)上单调递减,所以当t=一1即X=0时函数取最大值一5,无最小值。 题型三:利用单调性求抽象函数的最值 已知定义在(0,+∞)上的函数f(×)满足f(X1/X2)=f(X1)一f(X2),且当X>1时,f(×)<0。 (1)求f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若f(3)=一1,求f(X)在[2,9]上的最小值。 解:(1)令X2=X1>0,f(1)=f(x1)一f(X1)=0; (2)设X1,X2∈(0,+∞),且x1 (3)、由(2),f(x)在[2,9]上单调递减,最小值为f(9)。因f(3)=一1,又f(9/3)=f(9)一f(3),∴f(9)=一2,所以f(X)在[2,9]上的最小值为一2。
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