關於流體的力學知識，珍藏版

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液體和氣體都具有流動性，統稱流體。但氣體和液體還是有差別的，這主要是氣體易於壓縮，而液體幾乎不能壓縮。

一、流體的壓強

1. 靜止流體內的壓強

靜止的流體不能承受切向力，因為流體沒有切變彈性。哪怕很小的切向力，都會使流體流動起來。在靜止流體內，過任意點取一小面元△S，面元兩方流體的相互作用力△F 必與面元垂直。比值△F/△S 稱平均壓強。令△S 趨於零，而得平均壓強的極限值，即

這個值稱該點為壓強。可以證明，壓強與所取的面元△S 的方位無關，也就是說來自各個方向的壓強都相等。既然如此，無需考慮壓強的方向，它是一個標量。

2. 運動流體內的壓強

理想流體內部沒有粘滯力，同樣可以證明，處幹運動狀態的理想流體內部的壓強也是與方向無關的。

3. 靜止流體內不同點的壓強

靜止流體內同一水平面上各點壓強相等，密度為ρ 的靜止流體內，高度差為h 的兩點的壓強差為ρh。

4. 阿基米德原理

當一物體全部或部分地浸入流體中時，物體所受的浮力等於它所排開的流體重量。

二、理想流體的穩恆流動

1. 理想流體

在流體力學中，理想流體是一個理想化的模型。實際流體，當它各層間有相對滑動時，相鄰層間存在著摩擦力，稱內摩擦力或粘滯力。但水、酒精等液體內摩擦力很小，氣體更小。還有，實際流體也不是不可壓縮的，液體較難，氣體卻很容易，但很小的壓強差就能導致氣體迅速流動。因此，在不少問題裡，粘滯性和壓縮性對流體的運動影響很小，是次要的因素；而流動性是主要因素。我們把不可壓縮和沒有粘滯性的流體稱為理想流體。

2. 兩種研究流體運動的方法

歷史上有兩種研究流體運動的方法。一是直接採用牛頓的質點力學方法，把流體分為許多體元，每個體元都可看成一個流體質點，每個質點滿足牛頓定律，從而列出一系列運動方程，這種方法稱為拉格朗日方法。但是，追蹤流動著的流體中這個質點或哪個質點是很麻煩的，實際上通常並不關心這個或哪個質點的命運，所以歐拉提出另一種方法，稱位歐拉方法。它和力學中慣用的方法不同，它不去考察流體中的某一質點的運動過程，而是研究每個時刻在空間各點流體的速度分佈。這一方法現在被廣泛採用，包括我們下面的討論。

3. 穩恆流動

在空間各點，流體速度可以不同，但是如果在每一點流體速度矢量不隨時間變化，則流體的這種流動稱為穩恆流動。

4. 流線和流管

常用流線來形象地描述流體的運動情況，流線是這樣的一系列曲線：流經曲線上各點的流體質點，它的速度都和曲線相切。既然空間各點的流速具有一個確定的方向，所以流線與流線不相交。

對於穩恆流動，流線保持不變，流體質點就沿著流線運動。在這種情況下，流線也就是質點的運動軌跡。由一束流線所圍成的管狀區域，稱為流管。因流線不相交，流體中質點的流速不會與流管“壁”相交，換句話說，流體的質點不可能穿過流管“壁”。管內的質點始終在管內，管外質點始終在管外。在流體力學中，往往取一流管作為代表加以研究。

5. 連續性方程

在作穩恆流動的流體中，取一流管。過流管中任意兩點作橫截面，截面積分別為△S1 和△S2。對於細流管，可認為同一截面上流速是一樣的。

令v1 為△S1 處流體速度大小，v2 為△S2 處流體速度大小。對於不可壓縮的理想流體，在△t 時間內流進的△S1 流體體積必定等於流出△S2 的流體體積，即

亦即

或

上式稱為理想流體沿流管的連續性方程。表明：流過流管中任何截面的體積流量相等。也可以說，通過流管的流速和流管截面積成反比。

6. 伯努利方程

1738年伯努利應用功能原理導出了流體動力學的重要方程——伯努利方程，對於穩定流動的理想流體，沿同一條流線，各點的壓強、高度和速度三者的關係可表為：

或

或用長度量綱寫成

表明：沿同一條流線，壓強、單位體積流體的動能和勢能三者總和守恆。p/

ρg·v²/2g 都是長度量綱，人們常分別稱它們為壓力頭、速度頭、水頭。

7. 伯努利方程的應用

(1) 噴霧器

噴霧器結構

圖中，水平管中的活塞向右運動，產生氣流。A 處壓強近似等幹大氣壓強，由連續性方程知截面大的A 處速度小，截面小的B 處速度大。取流線CBA，根據伯努利方程

式中，pB 為B 處壓強，vA、vB為A、B 兩處的速度。因為vB<vA，所以pB <p0（大氣壓強）。結果儲液器D 中液麵上的大氣壓將液體壓上，在B 處混入氣流，被吹散成霧，由噴嘴吹出。

(2) 小孔流速

如圖所示，一大容器的水面下h 處的器壁有一小孔，由伯努利方程可以求出水由小孔流出的流速。由於容器截面積S1＞孔面積S2 。水面下降極慢，短時間內高度差h 幾乎不變。取流線AB ， A 在水面上，壓強為大氣壓強P0 ，速度近似為零。取hB=0 ，壓強P0 ，而速度即為所求，記為v。將各量代入伯努利方程得

所以

這叫做托里拆利公式。它給出的速度正好等於物體從高度h 自由落下所獲得的速度，這個結果是在理想流體的假定下求出的，實際上由於內摩擦的作用，流速應比√2

gh 小1-2%。小孔流量為

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