雙木良子
首先，π確實是無理數，這點早已得到證明，懷疑π在很多很多位數開始循環的人可以歇歇了！關於π（其他無理數也是一樣），很多人經常有一個誤解，因為π是無理數（無限不循環小說），很多人會認為π是一個不固定的數或不準確的數！
其實並不是這樣的，π與自然數一樣，都是固定的準確的數，有些人可能會說，既然π是一個固定的數，為何寫不出來呢？
這就是思維的侷限性，完全可以寫出來，它就是π！固定的數並不一定非要用小數表示出來，同理，√2也一樣，它就是√2，一個固定的數。如果你非要用小數表示出來，有理數也並不定都能用小數表示出來，比如1/3，你能用小數表示出來嗎？0.333……，你寫到天荒地老也寫不完！
明白了這點，圓的直徑和周長是無理數還是有理數就不再有任何問題了！
舉個例子，隨便畫一條線段，可以肯定的是這條線段的長度肯定是固定的，這點毫無疑問，是固定的並不意味著一定是有理數，也可以是無理數，比如說理論上你完全可以畫出一條π釐米長的線段，但這並意味著你可以用尺子測量這條線段的精確長度！
比如，我們可以在數軸上畫出π釐米長的線段，當然你無法測量是否真的是π釐米，理論上肯定是存在的，這更多的意味著π對應著數軸上的一個點！
實際上，不要說測量π釐米長的線段，任何長度的線段我們都無法準確測量出，比如說1釐米的線段，你能準確地測量出1釐米的線段嗎？並不能，這就是數學概念和現實的差距，理論與實際的差距！
最後說一點，其實根本不用這麼繞來繞去的分析，只要明白一點，π與任何自然數一樣都是固定的數，這就足夠了，固定的數對應圓的周長或直徑都可以存在，不管是有理數還是無理數！
宇宙探索
圓周率很早就被嚴格證明為是一個無理數，這意味著圓周率無法用分數表示，而它的小數點後是無限且不循環的。如果圓周率是擁有無數位不循環小數的無理數，那麼，圓的周長可以是有理數（比如整數）嗎？圓的周長又怎麼會是一個確定值呢？
從數學上能夠證明，任意一個圓的周長和直徑之比都是相等的常數，這就是圓周率。反過來，圓周率和直徑的乘積即為圓的周長：
C=πd
如果圓的直徑是有理數，那麼，它與無理數的圓周率相乘之後所得的圓周長必然為無理數。
另一方面，如果圓的直徑是某些特殊的無理數，那麼，圓的周長將會是有理數，甚至整數。只要直徑取以π為分母的數，例如，直徑取10/π，那麼，這個圓的周長為10，所以圓的周長不但可以為有理數，而且還能為整數。
雖然圓周率是算不盡的，但這並不意味著它是不確定的未知數。圓周率就是一個常數，它的數值是完全確定的，它可以在數軸上標註出來，這就像諸如根號2等無理數一樣，因為它們都是實數。既然圓周率是一個確定的常數，那麼，圓的周長自然也能夠依據直徑而確定下來。
需要強調的是，無論是在二進制、十六進制或者其他進制下，圓周率的無理數性質是不會改變的。而如果在π或者nπ進制下，圓周率成為了有理數。在這種情況下，圓的直徑和周長都只能是無理數。
在我們已知的宇宙中，時空本身的構造決定了圓周率就是這樣特殊的無理數。倘若平行宇宙存在，那裡的數學家或許會證明出圓周率是一個有理數，而他們所畫出的圓也很可能會不同於我們宇宙中的圓。
火星一號
這個問題很有意思，我來回答一下。
如果對數學有興趣的朋友我推薦大家一本書，叫做《數學分析八講》，這本書是著名的蘇聯數學家、教育學家辛欽寫的，不厚，也幾乎沒有太多的公式，但是仔細讀一下就會對很多數學問題有醍醐灌頂一般的感受。
這個《數學分析八講》中的第一章就詳細說了什麼叫做“連續統”，尤其是關於無理數的概念——事實上無理數這個概念遠比我們想象的要複雜。
人類本質上只知道什麼是“整數”，這些數雖然無限多，但是是這個世界的一種非常明確的計量方法。而有理數就是通過這些整數構建出來的，表示為兩個整數的商。有理數雖然有無限多個，但是依然不能填滿整個數軸。
比如說我們常說的根號二（ √2）就是一個無理數，這個數不能表示為兩個整數的商。不過我們也可以說，其實根號二對我們來說並不是一個陌生的事物，因為根號二這個數字可以跟整數建立起來關係——也就是 √2* √2=2。而這些可以表示為整係數多項式的根的數叫做“代數數”。
從整數，到有理數，到代數數，我們似乎獲得了數不盡的“數”，但是這些數不盡的數就能夠把我們整個數軸填滿嗎？答案是：依然不能填滿。
我們依然可以從數軸上找到一些無理數，這些無理數不是任何整係數多項式的根——也就是我們沒有辦法把這些數通過我們已有的數——整數“構造”出來。比如說圓周率π，比如說一個神奇的數——e。
確實有這些數，但是你沒有辦法把他們跟任何的整數關聯起來，只能說，這是數軸上的一個數字，雖然我們不知道這個數具體是多少，又怎麼通過我們已知的數把這個數字表示出來，但是這個數字確實存在，他的大小近似是3.1415926……。
不可思議並且難以想象，但是這些不能表示但是又存在的數確實是實數的一部分的。
這些數字就是“超越數”，超越數跟代數數之間的加減乘除和各種運算、超越數互相之間的加減乘除和各種運算都被囊括在“實數”內。
比如說，10/π存在嗎？答案是，存在。這個數字就在數軸上，它的大小是
X.XXXXX
……這個數字的特點就是跟π相乘等於10，用這個數字作為圓的直徑的時候，圓的周長是10。
你可能會奇怪，一個無理數10/π跟另一個無理數π相乘，怎麼反而是一個有理數了？這個沒辦法，因為這個數字10/π確實存在，它的唯一定義就是：它是一個“跟π相乘結果等於10”的數，除此之外，沒有任何意義。你不要管這個數字你寫不寫得出來，有多奇怪的性質，但是它就是存在——這就是數學不講理、但是又符合邏輯的地方。
我們需要這個數，這個數字就出現了，我們只知道他在數軸上，但是除此之外對它一無所知——換句話，實數軸就是一個寶庫，我們可以從中找到各種我們需要的東西，因為實數軸是“連續的”，上面有任何我們需要的數。
甚至於你說數軸上有通過有理數、代數數、超越數加在一起還構造不出來的數嗎？這個其實我也不知道，你知道嗎？
所以說，對數學不能較真，或者說數學本來就是超越我們“直觀認識”的存在，有些時候只有定義，而沒有你能夠看到、感受到甚至於構造出來的“實體”。
航小北的日常科普
周長公式C=2πr，如果半徑是5/π那麼周長就等於10了，所有長度都存在，好比一個長度為10的軟皮尺可以圍繞出來任何形狀的周長。
實際上π是無理數，也就是說周長與直徑的比，那麼周長可測麼？根據測不準原理周長沒有準確數值。那麼直徑可測麼？也是測不準的，所以π也就成了無理數。
因為π是通過微分計算出來的，微分的周長不等於實際周長，但永遠在靠近實際周長，也就是這個數字π在不斷接近一個數值，所以π是無理數。
實際上說周長為10也只是理想的數值，好比數學有直線概念，數軸的概念，事實上都是理想模型，宇宙中並沒有直線，只有曲線，所以說宇宙沒有邊界，因為沒有直線，也沒有上下左右，也就不存在邊界了。
無理數就因為他是微分出來的，所以數值一直在變。
因為周長無法測量（測不準原理），所以我們把圓分成無數份後才接近實際周長。
法永禪師
本題，涉及第二次數學危機。本文，涉及兩大物理運動。道理很簡單，恐鴕鳥心態。
無理數與有理數的本質區別
無理數的本質，既不在於是否整除，也不在於是否循環，而在於小數點最後位值的“不定性”與“皆趨零”，即：
末位值ε=a×10⁻ⁿ(a=1,2...9; n→∞)是一個趨近零的未知數，即：
∀εi→0且∀εi≠0且∀εi≈0，
末位的無窮小量εi包括：ε₁=1×10⁻ⁿ, ε₂=2×10⁻ⁿ, ε₃=3×10⁻ⁿ, ε₄=4×10⁻ⁿ, ε₅=5×10⁻ⁿ, ε₆=6×10⁻ⁿ, ε₇=7×10⁻ⁿ, ε₈=8×10⁻ⁿ, ε₉=9×10⁻ⁿ。
這些不確定的無窮小量，正是無理數對間斷點填空的緻密性與連續性的純幾何意義。
事實上，我們只能說n→∞且n≈∞且10⁻ⁿ→0且10⁻ⁿ≈0，因為無窮大與無窮小，既無意義也不存在，或者只存在於純主觀意淫中。
請看圓周率：π=3.1415926...，即：
π=3×10⁰+1×10⁻¹+4×10⁻²+1×10⁻³+5×10⁻⁴+9×10⁻⁶+2×10⁻⁷+6×10⁻⁸+...+a×10⁻ⁿ
只有最後一位的絕對無窮小“ε=a×10⁻ⁿ”，才是無理數的決定值。前面的總和卻是有理數。
我們完全有理由推出：無理數的本質是：有不確定的可逼近零的末位無窮小。
就物理學而言，無理數來自曲線運動軌跡，而曲線運動總是指向某點切線方向，可見：
無理數對應切向二維運動，即：f(r,θ)=re^iθ，有理數對應徑向一維運動，即：f(r)=rtgθ。
曲線運動的切向，取決於曲率半徑，曲率是絕對在變的，故有不定性或無理性。
直線運動的徑向，取決於直線斜率，斜率是相對不變的，故有確定性或有理性。
如果曲率足夠小，即令：re^iθ=rtgθ，有：e^iθ=tgθ=ε，θ=π×10⁻ⁿ(n→∞)→0。
這與lim f(n→∞)=lim sin(10⁻ⁿπ)/(10⁻ⁿπ)=1異曲同工。注意到：x→0, lim(sinx)/x=1。
現在可以討論本問關於圓周長的題設
根據定義，圓周長=直徑×圓周率。
其中，直徑(d)屬於徑向之線性參量，只屬於不為零的有理數(R)，即：d∈R(R≠0)；圓周率(π)是無理數。
顯然，非零有理數×無理數≡無理數。圓周長=非零有理數×無理數≡無理數。
因此，假設圓周長是例如為10的整數，是純屬想當然莫須有的。任何圓周長都是無理數。
因此，假設圓周長是有理數，本身就不成立，如果圓周長是有理數，直徑就只能是無理數，直徑就意味著是切向運動，這顯然是荒唐的。
不過，說“有理數是離散性的，無理數是連續性的”，是純屬理論性的假設或臆斷。
這很容易證明。無理數，除了不確定的末位無窮小，其餘數位值，都是有理數。有理數也可以無限精準到或連續每個非無窮小的每個細節。
小結：
有理數，只能對應徑向運動的直線方程與直徑參量，其斜率是相對不變的物理量。
無理數，只能對應切向運動的曲線方程與周長參量，其曲率是絕對變化的物理量。
無限循環小數的末位是係數明確的無窮小。無限不循環小數的末位是係數不定的無窮小。
明白了有理數與無理數的本質區別，明白了第二次數學危機的根源(見筆者前文)，還惑嗎？
Stop here。物理新視野與您共商物理前沿與中英雙語有關的疑難問題。
物理新視野
這個問題其實很簡單，只須將已知數C=10代入公式π=C/R，即可求出R值，R=10/π。因此，只有π是無理數，而周長和直徑，即可以是無理數，也可以是有理數，當週長為有理數時，直徑必為無理數值，當直徑為有理數時，周長必為無理數值。無理數的存在，是線段不可公度所致，並不是某個圓周長和直徑真的有無限長，所有圓周長和直徑的長度，都是有限的，從這一點上講，前輩數學家將圓周率算成無限不循環小數，是不對的！求圓周率應該是求極限，而不是求它必須無限精確。這就如同芝諾悖論裡的阿基里斯，本來人在有限的距離和有限的時間內，完全可以追上烏龜，卻被芝諾先生乎悠的永遠追不上，圓周率若按前們算成的無限精確，則任何人都不能畫出圓來，因為畫圓人象芝諾的阿基里斯一樣，阿基里斯一直在追龜途中停不下來，畫圓人也應按前輩的無限精確，將圓一直劃下去，這麼荒唐的事，人人心知肚明，卻無人敢提出反對意見。實際上，無論是有理數，還是無理數，它們都只能表達相對精確度，因為絕對精確不存在，在實際應用中，大家都是用相對精確解決問題，無限精確沒有實際運算意義，弄不好，還會出現人追不上龜的荒謬。大自然有她的精湛選擇，她選擇了黃金比例構造圓，僅用黃金數0.618的前三位小數，作為比例常數，就使圓甄於完美，很好的體現了任何圓周長都是有限的事實。"割圓法"和“無限級數法"那個無限性，都不符合客觀實際，圓內接正多邊形的邊數，沒有無限趨近圓，極限是正100邊形！這是可證明的科學事實，是由幾何常識所決定的，只是前輩數學家們沒有發現，平直和彎曲是直接相聯繫的，3.6度圓心角所對的弧是直線，100個頂角為3.6度的等腰黃金三角形組成一個圓，故圓周率π=3.09，證明過程從略。
長眉1958
這數學學得，我也是無語了。正常的邏輯是，如果有一個確定的長度比如1米做直徑，則圓周長要乘以π，所以是無理數。反之，如果將一個比如10米長的繩子，彎成一個圓周（當然是整數啊），則其直徑長度要由周長除以π，所以也是無理數。換句話說，圓直徑和周長可以一個是有理數，另一個是無理數，但不可能兩個同時是有理數。
姜冠亭
周長當然能是整數。拿你說的周長10來說，半徑=10/2兀（派打不出來）周長就是整數。
我們說兀（派打不出來）是數軸上確定的某一點，那麼同樣10/2兀（同樣是數軸上某一確定的點），同樣是個無限不循環數。
那些拿周長為10的繩子擺個圓的估計要失望了，幾何方法沒有辦法做出周長為10的圓，只是理論上存在周長為10的圓。所以抱歉，你們的繩子退休了。
唐宋文盲
兀本身是個比值，應該是個固定值。只是我們沒有找到最科學、巧妙的方法，現在的計算方法只是無限接近但不是標準值。
圓周率（Pi）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。這段是定義。
彭洲子
周長肯定是整數準確的說是個有理數，直徑也是有理數，*派是無理數只不過是數學家非要拿圓的周長來除以圓的直徑所產生的一個奇怪而很有意思的一個數字，表面講直徑乘以一個無理數，應該得出來的也是一個無理數，但是你們要知道周長與直徑是沒有因果關係的，一個直徑x的圓周長剛好就是p，這裡的尺寸都是經過精密儀器測量出來的，但是人們不能每次想知道周長都去用精密儀器去測量，就好比在宇宙天體上的計算根本無法去量，所以數學家就人為的把周長與直徑聯繫起來了，發現圓的周長除以圓的直徑是一個無理數，發現這個規律以後，只要想知道無法測量圓的周長時，科學家只需取派小數點後多少位就可以把周長的精度控制在自己想要的範圍。一個直徑10米圓，周長可以去測量，如果一個直徑一萬千米的圓，周長是沒有辦法測量的，只能通過計算，但是計算出來的誤差可以通過選用小數點後多少位來把周長的誤差控制在，幾十千米，一千米，甚至幾毫米等等量級
