如果說自然數是來源於對數量的刻畫，有理數是來源於對比列的刻畫，無理數是來源於對長度的刻畫，那麼，複數就完全是人為製造，是在現實生活中找不到實際背景的。複數被寫成a+bi的形式，其a和b為實數，i被稱為虛數，滿足i2=-1，這是方程x2=-1的解。顯然，問題出在虛數上，因為我們在乘法那一講已經證明了：一個正數乘一個正數為正數，一個負數乘一個負數也是正數，因此，一個數自乘之後必然為正數，不管這個數是正數還是負數。也正因為如此，古希臘學者丟番圖雖然知道一元二次方程有兩個根，但其中有一個為虛數時，他寧可認為這個方程是不可解的。一直到16世紀，數學家們普遍認可丟番圖這種處理虛數的辦法。
雖然問題是求二次方程的解所引發的，可是迫使人們認真對待複數的卻是因為求三次方程的解。意大利數學家卡爾丹在他1545年出版的著作《重要的藝術》中討論了求解三次方程的代數方法。他的工作是在韋達之前，當時還沒有抽象出代數方程的一般表達式，他分13種情況對三次方程進行了詳細的討論，給出了13種解題的公式，現在稱這些公式為卡爾丹公式。在求解公式中一個讓人十分尷尬的情況出現了：即便三個根都是實根，但是在用公式求解的時候會出現複數，比如，對於方程16+x
2+x3=24x（當時不允許方程的一邊為零），容易驗證x=4是方程的一個根，於是，這個方程就等價於(x-4)(x2+5x-4)=0，檢驗其中的二次方程就可以知道其餘兩個根也都是實數，這樣，這個三次方程的三個根都是實根。但是，直接用卡爾丹公式計算時會出現複數，那麼，這樣的方程是有解還是無解呢？虛數的名稱是笛卡爾給出的，他不能接受復根，於是，在他1637年出版的《幾何》這本書中解釋復根時說“但它們始終是虛的”。在數學發展史上，歐拉是第一個使用符號i來表示√-1的，並寫在他1777年提交給聖彼得堡科學院的論文中，這篇論文直到1794年才發表，那是在歐拉逝世後11年。但是，歐拉並沒有確切地掌握複數運算，在他1770年出版地《代數》一書中認為√-1•√-4=√-1X（-4）=√4=2，其中理由是√a•√b=√ab。
有了虛數的符號，就可以定義複數了，用C表示複數的集合。與實數不同，在複數集合中不存在大小關係，也就是說兩個複數之間不能比較大小。回想我們最初的定義：數字是那些能夠由小到大進行排列的符號，在這個意義上，複數確實不是數字。這並不以外，因為任何數對（包括向量）都不能在通常意義下比較大小。但是，複數集合卻包含實數集合，因為只需要在複數中令虛數i前面的係數為0就可以了。對複數可以定義運算。
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