小生166919353
无理数的产生，可以说是历史的必然，与采用什么进制没有关系。
可公度
古希腊的数学非常发达，以毕达哥拉斯学派最为有名。毕达哥拉斯曾游历多国。学识非常渊博，他后来招收了300多弟子（有点类似于孔子）。毕达哥拉斯学派对数学贡献很大，其中最著名的就是毕达哥拉斯定理（勾股定理），据说当时曾屠杀了一百头牛摆宴庆祝，所以毕达哥拉斯定理也被称为百牛定理。
毕达哥拉斯学派提倡一种唯数论的哲学观，认为宇宙间的本质是数的和谐，一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。该学派的信条是，宇宙间的一切现象都可以归结为整数或整数与整数的比（可公度）。例如任意两条不相等的线段，总有一个最大的公度线段，利用的工具是圆规，方法其实就是辗转相除法（更相减损法）。如下图中AB与CDG两条线段，求其最大公度线段。
步骤 2、在线段CD上，连续截取长度为EB的线段,若没有剩余则EB就是最大公度线段；若有剩余，则设剩余线段为FD(FD 3、在线段CF上，连续截取长度为FD的线段，正好没有剩余。 毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯通过逻辑推理的方式发现：等腰直角三角形的斜边与其直角边是不存在最大公度线段的，也就是等腰直角三角形中三角斜边与直角边是不能用整数比表示的。
1、在线段AB上用圆规从一端A起，连续截取长度为CD的线段，使截取的次数尽可能的多。若没有剩余则CD就是最大公度线段；若有剩余，则设剩余线段为EB(EB 不可公度
在上边这个图中，AD=AC,过点D做DE垂直于AB交CB于点E。角ECD=角EDC,三角形EDB也是等腰直角三角形，所以线段CE=ED=BD(也就是相当于用圆规进行了截取)，于是问题转化成为求取线段EB与ED的最大公度线段问题。由于在直角三角形中斜边总是大于直角边的，所以这个过程可以无限进行下去，是没有头的，也就是最初的线段AB与AC是不存在公度线段的。希帕索斯正因为发现了这个事情（客观上也就是发现了无理数），所以被沉在了海里。
无理数与进制无关
通过上面的故事，大家可以发现，无理数其实与使用何种进制是没有关系的。就好比用二进制表示根号2也是无法表示成分数一样，如果表示成二进制小数与是无限不循环的。
多元视角
我发现非常多的人把有理数/无理数和进制或者无限小数混为一谈。这样的问题被提出，恰恰说明我们的中小学数学教育，至少教材，是有问题的。
我们的教材或老师，用是否为（十进制）无限不循环小数来定义有理数/无理数，是非常不好的。虽然并不错，但很容易误导学生。
数学史上有理数无理数的定义是古希腊人在2500年前就完成的，下面这个定义和小数或进制半毛钱关系都没有：
有理数就是能表示成整数分数的数（或称可分数），无理数就是不能表示成整数分数的数（或称不可分数）
这个定义是纯数论的，和小数表示法（不论什么进制）都毫无关系。
实际上毕达哥拉斯时代的古希腊曾认为所有数都是可分数，直到他学生运用他的毕达哥拉斯定理（勾股定理）发现√2不可以表示为分数！才不得不把这些不能表示为分数的数称为“没有道理的数”。特别注释一点：那个时候古希腊还没有使用十进制，他们是用代数和数论这种更为本质的方法在理解什么是“数”。
当然，我们很容易证明，在任何进制下，一个有限小数或无限循环小数，都一定可以表示为分数：n进制下任何一个k位循环小数都可表示为该k位数字/(n^k-1)，
比如十进制里的6位循环小数：
0.142857…
=142857/(10^6-1)
=142857/999999
=1/7
（注：上述证明可作为小学奥数习题）
-------
补充：证明任何整分数都是有限或无限循环小数。
在n进制下，分数p/q的每个数位的计算，从小数点后开始，都可以看作是r(i)/q，其中r(i) 显然，任何一个分数p/q的循环部分在任何进制下都不会超过q位。不过可以在某个进制下为有限小数，另一个进制下为无限循环小数。 最简分数p/q（pq互素）在n进制下为有限小数的充要条件是q的所有不同素因子为n的素因子的子集。比如十进制下就是要求q=2^a * 5^b ------- 同样，我们可以证明上述的√2是无理数，比如：反证如果√2为有理数，令√2=p/q，pq为互素的整数，则p²=2*q²，于是p必为偶数，令p=2n，则2=p²/q²=4n²/q²，即q²=2n²，所以q也是偶数，pq同为偶数与反设（互素）矛盾，故√2不可能表示为分数，只能是无理数。 （注，这是2300多年前亚里士多德总结的经典证明，也可以作为小学奥数习题） 19世纪的大数学家康托尔在创立集合论时漂亮的证明了“无理数远比有理数更多”。这里用到了无穷集合比大小的“一一对应法则”，是每一个大学数学系学生学习数学分析的必修内容。如果不了解又感兴趣，可以去查找“康托尔的对角线方法”，非常精彩，也非常简洁。
（注：高三参加奥数国家集训队时讲过这道题，并考了一道用类似方法可证的：无穷集合幂集>原无穷集）
无理数里又会进一步分成“代数数”和“超越数”，代数数，是指该数是某个整系数多项式方程的根，比如½(1±√5)，就是x²=x+1的根（熟悉的童鞋一定一眼看出这就是著名的斐波那契数列的特征方程）
我们熟知的数学常数π和e，不但是无理数，也是超越数（即不是任何一个整系数多项式方程的根），这个证明就非常有挑战性了，不太可能用初等方法做到。
如果还想再进一步了解有理数和无理数的数学意义，还可以去看看戴德金用“比大小的划分”来定义实数，用该“划分”是否有上/下确界来定义有理数/无理数。
帖木兒
＂无理数＂？＂产生＂？＂十进制＂？一一一＂十進制＂之隹人，隹之，不能产生自然平衡，至于有，无理数？基本得出一个概念。什么是＂理念＂？一一一＂真理＂嗎？中国人只说巜易理》，拟乎＂真理＂是西方黑格尔哲学产生的！列位中国古称＂十六两制＂改制用西方文化＂十进制＂公斤称，是中国走向进步，还是在自否真学问？黑格尔说中国无哲学？黑格尔知巜易上下辞》嗎？＂天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十＂这不是＂十進制＂又是什么？1➗1、0125＝有；无理数！＂产生＂！＂无理数＂！＂十隹之進制＂！《易》难＂真理＂。
手机用户5534444811
本文之解答，且作《无理数的本质》，得益于追问无理数的物理意义，旋转是运动的基本形式。
先来看无理数√2的产生。在平面直角坐标系的第一象限上，以单位1画圆，可得到长π/2的圆弧与等腰三角形，等腰三角形的底是圆弧的弦。底与弧，是孪生姐妹。
即旋转θ=90°，就有弧π/2与弦√2，是差距不大的孪生无理数。以下推而广之：
若旋转θ=30°，就有π/6与√？，是差距较小的的孪生无理数。
若旋转足够小角度θ=Δ：就有π/∞=Δ可以相等的孪生无理数。
由此可见：圆周率分割的无理数与二次方根下的无理数，总是一对孪生无理数。可推：无理数来自旋转操作，有理数来自直线操作。
换句话说：二次方根是二维操作的低级无理数，一次方根，是一维操作的有理数。
不难证明：三次方根是三维操作的中级无理数，四次方根是四维操作的高级无理数。超四维操作，就叫超级无理数吧。
无独有偶，自然常数e，作为无理数，也是来自旋转，是以半径为1之单位圆的外展。
因此，所有的无理数，都只与旋转操作有关，与进制，诸如十进制、二进制、八进制、六十进制等，是没有关系的。
好了，本答stop here。请关注物理新视野，共同切磋物理逻辑与中英双语的疑难问题。
物理新视野
无理数的产生，
无理数的产生与“平面几何”开平方，有密切关联，
√2，√3，√5，√7，√11都是著名的无理数。
π也是著名的无理数，
有理数可以为p/q, p,q均为整数
这类无理数都源于理想平直平面
在物理世界普朗克尺度是量子化的，也不存在绝对理想平直的平面，
实验物理学里其实无理数是一个人为的存在。
AUTUYG
进制之间只是逢二进一，和逢十进一的区别。都是1+1+1+1的，任何进制都会存在无限不循环的数，任何无限不循环的数在任何进制中都是无限不循环的。按小数转换成分数的方法你倒可以想一下，一个进制中无限循环的小数怎样用另一个进制中有限位的数表示。
就像wo
某数是否无理数或有理数与进制无关。
定理一: 某一数在某一进制是无理数，则用其它进制也是无理数。
定理二: 某一数在某一进制是有理数，则用其它进制也是有理数。
天天瞎幻想折腾的人，歇息吧。
温情忆鸿564
其实”位值制”仅与数论有点关系，在数学中，它并不占什么重要的位置。
老堪69294438688
有理数就是能表示整数与整数相除。
科技创客243294038
当然罗，绝对是
