小生166919353
無理數的產生，可以說是歷史的必然，與採用什麼進制沒有關係。
可公度
古希臘的數學非常發達，以畢達哥拉斯學派最為有名。畢達哥拉斯曾遊歷多國。學識非常淵博，他後來招收了300多弟子（有點類似於孔子）。畢達哥拉斯學派對數學貢獻很大，其中最著名的就是畢達哥拉斯定理（勾股定理），據說當時曾屠殺了一百頭牛擺宴慶祝，所以畢達哥拉斯定理也被稱為百牛定理。
畢達哥拉斯學派提倡一種唯數論的哲學觀，認為宇宙間的本質是數的和諧，一切事物都必須而且只能通過數學得到解釋。該學派的信條是，宇宙間的一切現象都可以歸結為整數或整數與整數的比（可公度）。例如任意兩條不相等的線段，總有一個最大的公度線段，利用的工具是圓規，方法其實就是輾轉相除法（更相減損法）。如下圖中AB與CDG兩條線段，求其最大公度線段。
步驟 2、在線段CD上，連續截取長度為EB的線段,若沒有剩餘則EB就是最大公度線段；若有剩餘，則設剩餘線段為FD(FD 3、在線段CF上，連續截取長度為FD的線段，正好沒有剩餘。 畢達哥拉斯學派的一個成員希帕索斯通過邏輯推理的方式發現：等腰直角三角形的斜邊與其直角邊是不存在最大公度線段的，也就是等腰直角三角形中三角斜邊與直角邊是不能用整數比表示的。
1、在線段AB上用圓規從一端A起，連續截取長度為CD的線段，使截取的次數儘可能的多。若沒有剩餘則CD就是最大公度線段；若有剩餘，則設剩餘線段為EB(EB 不可公度
在上邊這個圖中，AD=AC,過點D做DE垂直於AB交CB於點E。角ECD=角EDC,三角形EDB也是等腰直角三角形，所以線段CE=ED=BD(也就是相當於用圓規進行了截取)，於是問題轉化成為求取線段EB與ED的最大公度線段問題。由於在直角三角形中斜邊總是大於直角邊的，所以這個過程可以無限進行下去，是沒有頭的，也就是最初的線段AB與AC是不存在公度線段的。希帕索斯正因為發現了這個事情（客觀上也就是發現了無理數），所以被沉在了海里。
無理數與進制無關
通過上面的故事，大家可以發現，無理數其實與使用何種進制是沒有關係的。就好比用二進制表示根號2也是無法表示成分數一樣，如果表示成二進制小數與是無限不循環的。
多元視角
我發現非常多的人把有理數/無理數和進制或者無限小數混為一談。這樣的問題被提出，恰恰說明我們的中小學數學教育，至少教材，是有問題的。
我們的教材或老師，用是否為（十進制）無限不循環小數來定義有理數/無理數，是非常不好的。雖然並不錯，但很容易誤導學生。
數學史上有理數無理數的定義是古希臘人在2500年前就完成的，下面這個定義和小數或進制半毛錢關係都沒有：
有理數就是能表示成整數分數的數（或稱可分數），無理數就是不能表示成整數分數的數（或稱不可分數）
這個定義是純數論的，和小數表示法（不論什麼進制）都毫無關係。
實際上畢達哥拉斯時代的古希臘曾認為所有數都是可分數，直到他學生運用他的畢達哥拉斯定理（勾股定理）發現√2不可以表示為分數！才不得不把這些不能表示為分數的數稱為“沒有道理的數”。特別註釋一點：那個時候古希臘還沒有使用十進制，他們是用代數和數論這種更為本質的方法在理解什麼是“數”。
當然，我們很容易證明，在任何進制下，一個有限小數或無限循環小數，都一定可以表示為分數：n進制下任何一個k位循環小數都可表示為該k位數字/(n^k-1)，
比如十進制裡的6位循環小數：
0.142857…
=142857/(10^6-1)
=142857/999999
=1/7
（注：上述證明可作為小學奧數習題）
-------
補充：證明任何整分數都是有限或無限循環小數。
在n進制下，分數p/q的每個數位的計算，從小數點後開始，都可以看作是r(i)/q，其中r(i) 顯然，任何一個分數p/q的循環部分在任何進制下都不會超過q位。不過可以在某個進制下為有限小數，另一個進制下為無限循環小數。 最簡分數p/q（pq互素）在n進制下為有限小數的充要條件是q的所有不同素因子為n的素因子的子集。比如十進制下就是要求q=2^a * 5^b ------- 同樣，我們可以證明上述的√2是無理數，比如：反證如果√2為有理數，令√2=p/q，pq為互素的整數，則p²=2*q²，於是p必為偶數，令p=2n，則2=p²/q²=4n²/q²，即q²=2n²，所以q也是偶數，pq同為偶數與反設（互素）矛盾，故√2不可能表示為分數，只能是無理數。 （注，這是2300多年前亞里士多德總結的經典證明，也可以作為小學奧數習題） 19世紀的大數學家康托爾在創立集合論時漂亮的證明了“無理數遠比有理數更多”。這裡用到了無窮集合比大小的“一一對應法則”，是每一個大學數學系學生學習數學分析的必修內容。如果不瞭解又感興趣，可以去查找“康托爾的對角線方法”，非常精彩，也非常簡潔。
（注：高三參加奧數國家集訓隊時講過這道題，並考了一道用類似方法可證的：無窮集合冪集>原無窮集）
無理數里又會進一步分成“代數數”和“超越數”，代數數，是指該數是某個整係數多項式方程的根，比如½(1±√5)，就是x²=x+1的根（熟悉的童鞋一定一眼看出這就是著名的斐波那契數列的特徵方程）
我們熟知的數學常數π和e，不但是無理數，也是超越數（即不是任何一個整係數多項式方程的根），這個證明就非常有挑戰性了，不太可能用初等方法做到。
如果還想再進一步瞭解有理數和無理數的數學意義，還可以去看看戴德金用“比大小的劃分”來定義實數，用該“劃分”是否有上/下確界來定義有理數/無理數。
帖木兒
＂無理數＂？＂產生＂？＂十進制＂？一一一＂十進制＂之隹人，隹之，不能產生自然平衡，至於有，無理數？基本得出一個概念。什麼是＂理念＂？一一一＂真理＂嗎？中國人只說巜易理》，擬乎＂真理＂是西方黑格爾哲學產生的！列位中國古稱＂十六兩制＂改制用西方文化＂十進制＂公斤稱，是中國走向進步，還是在自否真學問？黑格爾說中國無哲學？黑格爾知巜易上下辭》嗎？＂天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十＂這不是＂十進制＂又是什麼？1➗1、0125＝有；無理數！＂產生＂！＂無理數＂！＂十隹之進制＂！《易》難＂真理＂。
手機用戶5534444811
本文之解答，且作《無理數的本質》，得益於追問無理數的物理意義，旋轉是運動的基本形式。
先來看無理數√2的產生。在平面直角座標系的第一象限上，以單位1畫圓，可得到長π/2的圓弧與等腰三角形，等腰三角形的底是圓弧的弦。底與弧，是孿生姐妹。
即旋轉θ=90°，就有弧π/2與弦√2，是差距不大的孿生無理數。以下推而廣之：
若旋轉θ=30°，就有π/6與√？，是差距較小的的孿生無理數。
若旋轉足夠小角度θ=Δ：就有π/∞=Δ可以相等的孿生無理數。
由此可見：圓周率分割的無理數與二次方根下的無理數，總是一對孿生無理數。可推：無理數來自旋轉操作，有理數來自直線操作。
換句話說：二次方根是二維操作的低級無理數，一次方根，是一維操作的有理數。
不難證明：三次方根是三維操作的中級無理數，四次方根是四維操作的高級無理數。超四維操作，就叫超級無理數吧。
無獨有偶，自然常數e，作為無理數，也是來自旋轉，是以半徑為1之單位圓的外展。
因此，所有的無理數，都只與旋轉操作有關，與進制，諸如十進制、二進制、八進制、六十進制等，是沒有關係的。
好了，本答stop here。請關注物理新視野，共同切磋物理邏輯與中英雙語的疑難問題。
物理新視野
無理數的產生，
無理數的產生與“平面幾何”開平方，有密切關聯，
√2，√3，√5，√7，√11都是著名的無理數。
π也是著名的無理數，
有理數可以為p/q, p,q均為整數
這類無理數都源於理想平直平面
在物理世界普朗克尺度是量子化的，也不存在絕對理想平直的平面，
實驗物理學裡其實無理數是一個人為的存在。
AUTUYG
進制之間只是逢二進一，和逢十進一的區別。都是1+1+1+1的，任何進制都會存在無限不循環的數，任何無限不循環的數在任何進制中都是無限不循環的。按小數轉換成分數的方法你倒可以想一下，一個進制中無限循環的小數怎樣用另一個進制中有限位的數表示。
就像wo
某數是否無理數或有理數與進制無關。
定理一: 某一數在某一進制是無理數，則用其它進制也是無理數。
定理二: 某一數在某一進制是有理數，則用其它進制也是有理數。
天天瞎幻想折騰的人，歇息吧。
溫情憶鴻564
其實”位值制”僅與數論有點關係，在數學中，它並不佔什麼重要的位置。
老堪69294438688
有理數就是能表示整數與整數相除。
科技創客243294038
當然羅，絕對是
