1735年，巴塞爾級數和的成功破解，讓歐拉逐步坐穩了18世紀數學盟主的地位。
我們先來回顧一下巴塞爾級數是什麼？
巴塞爾級數
如果把這裡的2改成1，那就是大名鼎鼎的調和級數。戲謔地說，調和級數應該是巴塞爾級數的大哥，因為無論從誕生的歷史，還是內容的深度上都遠勝於二弟。
為啥這個級數有個如此清新的名字？調和級數“調和”什麼呢？
這個級數名字源於泛音及泛音列（泛音列與調和級數英文同為harmonic series）：一條振動的弦的泛音的波長依次是基本波長的1/2、1/3、1/4……等等。
調和級數
看到這個級數，就有種讓人想去求和的衝動。但是對一個數列來說，想求和，首先你要證明收斂性才行，巴塞爾級數的收斂性很好證明。但是對於調和級數，斂散性卻不是那麼顯而易見。
中世紀的歐洲
大約在1360年，尼克爾·奧里斯姆就已經證明調和級數是發散的了，既然是發散，也就就不能求出來這個級數的和了。他證明的方法，其實不算什麼高深技巧，用到的是一種證明不等式的基本方法，放縮法。我讀高中的時候，數學課上還專門講過，印象裡最深的就是，老師說：
放縮一定要適量，放縮法用得恰到好處，結論是不證自明的，要是放縮地太狠，不但得不到最後結論，甚至還會把你誤入歧途。好像現在高中數學裡已經取消這個方法了，畢竟，相對於其他解題方法，放縮法的任意性要更高，也更難掌握一些。下面我們來看一下，這位中世紀的數學家是如何來證明調和級數的發散性的。
奧里斯姆關於調和級數發散的證明
(1) 式中[ ]內的項一次遞增成2n個，為什麼要這麼操作？這樣操作之後，(2)式中就可以把[ ]內的每一項都縮小到2-n，於是每個[ ]內的項相加都等於1/2,這樣持續下去，就可以得到調和級數的和大於無窮多個1/2了，顯而易見，調和級數是發散的。
哪裡都有你——歐拉
這是人們對於調和級數第一次探索的成果。後來的研究過程中，人們越來越想用別的計算公式來逼近調和級數的和，因為調和級數和太過繁雜了。在這個問題的研究上，歐拉邁出第一步。
歐拉關於調和級數逼近公式的證明
至此，歐拉得出調和級數的一個很好的逼近公式。但是後面[ ]內存在的那一大串是什麼呢？有了巴塞爾級數的知識做基礎，我們很明顯看出來[ ]內的項都是收斂的，事實上歐拉給這大串的項的和用了一個專門的字母γ表示。
於是
調和級數逼近公式
這裡的γ大約是0.5772156649...，我們當然又把這個數叫作歐拉常數。可千萬不要以為這個數的誕生這麼奇怪，人們刻意造出這個數有什麼用途呢？實際上這個常數會出現在許多數學分析的問題中，它與伽馬函數Γ(x),黎曼函數ζ(s)，連分數展開式都有著千絲萬縷的關係。奇怪的是這個常數的性質，人們卻知之甚少，甚至是有理數還是無理數都難以判定。
你以為歐拉得出調和函數和的逼近函數和歐拉常數就完了？當然沒有！
之後的某一天，歐拉在紙上塗塗畫畫，瞄著瞄著就把調和級數改造了一番，歐拉寫出這樣的一個式子：
全體素數的倒數和
很明顯歐拉是想看看所有素數的倒數和是怎麼的情況，這個新的級數斂散性還是跟調和級數一樣呢？
於是歐拉又開始慘無人道地“蹂躪”這個可憐的級數了，歐拉第一個發現，所有素數的倒數和其實也是發散的。
他的這個證明非常精彩，遠比上面得出調和逼近函數要精彩得多。
歐拉曾經在研究ζ(s)函數時，得到一個堪稱金鑰匙的工具，這個工具把求和與連乘等價在一起，非常漂亮。
歐拉關於全體素數倒數和發散的證明
歐拉的金鑰匙怎麼得出來的，這裡就不做特別細緻的探討了。這裡，我就主要說一下(9),(10)之間的轉換，（9）的連乘形式看起來非常恐怖，實際上，我們可以從另外一個角度來考慮。我們從小學就學過把一個數分解成唯一的素數乘積的形式，比如36=2*3*2*3,40=2*2*5*2，如果這個數本身就是素數，那就不用分解了。我們只是把這個要分解的數限制是自然數即可，換句話說，我們只要用素數乘積的組合就可以得出任意所有的自然數。這個也叫算術基本定理，是一個高斯曾經極度痴迷的數學定理。我們把這個定理放在這裡簡單應用下。如果我們不嫌麻煩，將(9)完全展開，我們將會得到任意素數的冪乘積的倒數和，由算術基本定理的逆定理得知，我們也將得到所有自然數的倒數和！於是，自然而然，我們就得到(10)式了。（當然完整嚴謹的證明還是要用到歐拉的金鑰匙，這裡只是做個形象的解釋）
痴迷算術基本定理的高斯
如果說調和級數和的發散性是反常識的，那麼素數倒數和的發散性就更加反人類了。素數要遠比自然數少的多，沒想到經過歐拉這麼一推導，仍然是發散的！我們再來分析一下歐拉的證明過程，在最後一步裡，用了素數的個數是無窮多個這個前提來得到最終結論，那麼假如，我們可以先得到素數的倒數和是發散的，那麼不就可以逆推出素數的個數是無窮多個的嗎？
這樣的思路是非常正確的，有人就學著走這條路。
北歐神話——挪威
1919年，挪威數學家布隆以此思路開闢了一條可能證明孿生素數猜想的“捷徑”。他把所有孿生素數的倒數對全部加在一起，他考慮到，假如這個級數仍然發散，不就可以證明孿生素數是無窮多個了嗎？？？這個思路的確相當振奮人心。
於是他列出這個級數來：
孿生素數倒數對的和
然而根據之前所有的研究經驗來看，真正涉及到素數核心問題的證明都絕不會是以一個簡單巧妙的方法就可以解決的，孿生素數猜想也不例外。布隆企圖證明這個級數是發散的，然而，他嘗試半天，卻憂傷地得到了這個級數收斂在1.90216054...附近，這個常數也叫布隆常數。毫無疑問，這條證明孿生素數的道路是根本走不通的，歐拉的極盡巧思是布隆根本學不來的。到了這裡，我彷彿聽見歐拉在天堂裡遠遠地對布隆說：
“數學好，真的可以為所欲為！”
然而，上天也算待布隆不薄，布隆在這個問題的研究上並非顆粒無收，他證明了一個很有趣的結論：
對於任何一個給定的整數m，都可以找到m個相鄰素數，其中沒有一個孿生素數。
歐拉對於調和級數壓榨出了幾個重要成果：歐拉乘積公式，調和級數逼近公式，素數倒數和發散。充分說明了，調和級數就像是一股寶貴的數學源泉，而歐拉如抽絲剝繭般地慢慢把這個問題壓榨，提煉，改造成各種各樣有力的數學成果，為以後的數學研究準備相當多的工具，我個人已經不能用語言去形容這位超級大神了。
好的問題就是數學研究裡的寶藏
我相信調和級數里仍然還有很多不曾被注意到的性質，好似感覺這裡就是一個寶藏， 我們所有人窮盡一生也得不到全部的結果。
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