杨军：违约概率与默顿模型

栏目介绍：结合巴塞尔协议的框架内容，完善宏微观结合的审慎监管体系、加强系统性风险和系统重要性银行监管是中国银行业实现高质量发展的关键。什么是巴塞尔协议？为什么是8％？如何推进实施巴塞尔协议并加强风险管理？《蒙格斯报告》公众号推出“风险管理与巴塞尔协议讲堂”专栏，介绍杨军博士的《风险管理与巴塞尔协议十八讲》的相关内容，旨在帮助读者理解巴塞尔协议，促进金融机构风险管理水平的提升。

导 言

巴塞尔协议的核心是阐述资本与风险的关系，资本要能够吸收意外损失。银行面临的风险是多种多样的，主要有信用风险、市场风险、营运风险、银行账户利率风险、流动性风险、声誉风险、战略风险等。其中信用风险是借款人不能按照约定偿还债务的可能性，核心是违约。如何量化信用风险导致的损失程度，如何估算企业违约概率？本文摘自中国金融出版社的《风险管理与巴塞尔协议十八讲》第三讲违约概率，有删改。

《风险管理与巴塞尔协议十八讲》

杨军 著

中国金融出版社

违约的概念

违约是巴塞尔协议中最基础的概念，如何理解违约、如何统一对违约的判定标准是风险管理的基石。对于违约，有如下几种认识：

第一种，合同性违约。银行会和客户签订一系列协议，尤其是贷款，签订有借款合同。如果客户没有按照合同约定履行义务，比如没有按期偿还贷款本金或者利息，没有按照双方约定提供财务报表，没有按照合同要求保证结算量，都可以认为是违约。

第二种，技术性违约。这种违约主要是从资产负债表的角度讲的。如果一个企业资产小于负债，就可以认为企业已经处于技术性破产阶段。这种方法和思想是默顿模型的基础，默顿模型就是在此基础上，研究企业资产价值的变化，通过比较企业的资产与负债的关系，推测企业违约的概率。

巴塞尔协议中规定的违约与上述两种标准都不同，它规定了违约的两种情况、六条特征，可以归纳为

第一种情况是除非采取追索措施，借款人无法全额偿还银行债务，也就是我们通常所说的第一还款来源不能全额还款。第二种情况是实质性债务逾期90天以上。

下面的六条特征是对上述两种情况的细化：（1）银行停止对贷款计息。（2）在发生信贷关系后，由于信贷质量可能大幅度下降，银行冲销了贷款或计提了专项准备。（3）银行将贷款出售并相应承担了较大的经济损失。（4）银行同意消极债务重组，由此可能发生较大规模地减免或推迟偿还本金、利息或费用，造成债务规模的缩小。（5）就借款人对银行集团的债务而言，银行将债务人列为破产企业或者类似的情况。（6）债务人申请破产或者已经破产，或者处于类似的保护状态，由此将不履行或延期履行偿还银行债务。

上述六条有明确判定标准的是

有两个需要关注的情形：第一，巴塞尔协议中讲“实质性债务逾期90天以上”，什么是实质性债务逾期，很多监管机构并没有正面回答。香港金管局给出的判定标准是“逾期部分占全部债务的5％或以上”。第二，如果一个企业集团中某个成员企业违约，是否判定整个集团违约。欧洲监管当局认为如果评级是针对整个集团的，就应该判定整个集团违约，但要分析这种评级方式是否妥当。结合国内实践，有两个原则应该坚持：一是应该以是否是实质性承贷主体来判断。若成员企业是承贷主体，则判定成员企业违约；若集团是承贷主体，则应判定集团违约。二是以是否会产生实质性影响来判断。如果某个成员企业是核心企业，它的违约会影响到其他成员企业，则应该判定其他成员企业为违约。

信用风险管理一直被认为是主观性、经验性、实践性的问题。但从1974年默顿提出期权的估价模型以后，人们对贷款信用风险的认识有了质的飞跃和提高，默顿模型成为现代信用风险管理理论中最有创新意义、最完美的成果之一。默顿模型从理论上回答了信用风险的度量和预测问题，使信用风险不再是一个无法进行理论描述的概念，信用风险管理开始有了科学基础。

一、公司价值的分布

讨论默顿模型之前，首先需要讨论如何定量刻画企业价值，因为默顿模型的基本思想是比较企业的价值与债务的关系。债务无论是债券还是贷款，其价值的估计相对比较容易，一般就是用现金流折现的方法进行估值；企业价值的估计则比较复杂。

现代金融一般研究上市公司的价值，因为上市公司的股票有市场价格，根据市场价格可以计算公司价值。有效市场理论认为，市场价格是随机变化的，因为市场上存在的套利机会会很快被市场发现并消除这样的套利机会，没有人能够战胜市场。公司的价值或者股票价格是不是服从正态分布呢？

默顿研究后提出，公司的价值不是正态分布，但公司价值的对数服从正态分布。这样的分布假设有哪些经济含义，又有哪些研究上的便利呢？

第一，公司的价值一般不为负，价格一般都是正的，正态分布的左边尾部会出现负值，因此公司的价值不能假设为正态分布。

第二，两个价格之比的对数表示了该金融工具的收益率，这种收益率称为对数收益率。

第三，对数收益率与一般的收益率不一样，但可以看做是一种近似，尤其是当价格变化很小时，一般收益率是对数收益率的极限。

第四，对数收益率的优越之处在于，任意两个收益率直接相减得到的收益率差等于这两个时点的对数收益率，满足可加性。

第五，对数收益率可以引入时间因素，为研究不同时间点的问题提供了有力工具。

如果对数收益率服从对数正态分布，假设均值为μt，年度收益率的标准差为σ，时间t时的标准差为，则

二、默顿模型的原理

默顿模型研究的是企业债的信用利差与哪些因素有关。假设一个企业的价值是V，其权益是S，负债为D（贷款面值），在任意时刻t，D_t= De^-rt，r是折现率。

银行给企业发放贷款，如果企业资产价值V大于贷款价值D（本息），银行贷款本息可以得到偿还，银行的收益为D；如果企业资产价值小于贷款价值，银行获得对企业的控制权，银行的收益为资产价值V_t，损失为D - V_t，损失最大值是贷款本息D，此时银行的收益为0。

如果银行支付一定的成本P₀（期权价格）买入一个看跌期权，这个期权的标的资产是企业的价值，期权的执行价格为D。如果企业的价值小于D，银行有权以D的价格卖出标的资产，执行该期权的收益为D - V_t，同时处置该企业资产获得V

表1 买入期权后银行的收益分布

看跌期权是指期权持有人约定在未来时刻能以价格D卖出一个资产。银行支付一定的成本购买一个这样的期权。如果实际价格高于D，持有人不会执行期权，持有人支付的期权费就是一种成本。如果实际价格低于D，持有人执行期权，在市场上先以市场上的实际价格V买入一个该资产，再以价格D卖出标的资产，但其收益是D - V，净收益还需要减去买期权的成本。

从上面的分析可以知道，卖出期权的价格就是消除信用风险的成本，换句话讲，就是信用风险的大小，这就为估计信用风险提供了一个定量工具。按照B - S期权公式，卖出期权的价格公式为

其中，N （·）是累积标准正态分布函数；r是无风险利率；D是期权的执行价格；V是基础资产的价值。这为信用风险的定量分析提供了理论基础。

三、信用风险与资产负债率

假设贷款的初始价值为D₀，卖出期权的价格P₀，无风险利率r，根据无风险套利原理，期初和期末的净现值应该相等，则有

贷款的到期收益率y可以表示如下：

将卖出期权价格P₀代入，可得

因为1 - N （ - d₂） = N （ d₂），所以

简即为

其中，d₁、d₂是标准正态分布点，与时间、无风险利率、波动率等有关。

这个公式意味着信用风险价差取决于两个因素，一个是资产负债率V/（De^-rT），另外一个是资产价值波动率。如果V = 100，T = 1，r = 10％，波动性为40％、70％的资产负债率，则可得到信用风险价差为560个点差（见下表）。

表2 资产负债率、价值波动性与信用风险点差的关系

到期收益率与无风险利率的差就是信用风险溢价，可以理解为信用风险的大小，这就给出了信用风险的度量公式。公式中，V/De^-rT就是资产负债率的倒数，资产负债率越高，其倒数越小，信贷利差越大，要求的风险补偿越高。这从理论上证明，根据资产负债率判断企业的信用风险是有充分科学道理的。

四、基于默顿模型的违约概率

默顿模型是一个量化信用风险的重要工具，其核心思想是企业违约与其资产价格有关，如果资产小于负债，则企业违约。如何得到其真实的违约概率呢？

假设企业的资产价值变化服从几何布朗运动，其资产价格变化为

Z服从标准正态分布。设定一个门槛值D，如果V_tt≤D）。

上述就给出了一个

如果知道企业的价值E （V₁），则可以定义违约距离DD =[E （V₁） - DPT] / σ。穆迪公司根据自己的数据，校准了每一个违约距离对应的违约概率。

比如如果一个企业的市场价值为1000，资产年增长率为20％，一年后预期的资产价值为1200，违约点为800，年化资产波动率为100，违约点为= （1200 -800） /100 =4。

在穆迪公司的校准结果中，违约距离4代表的违约概率是0.4％。用这种方法可以求出每一个公司价值对应的违约概率。这就解决了违约概率的定量计量问题。

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本文源自蒙格斯报告

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