楊軍：違約概率與默頓模型

欄目介紹：結合巴塞爾協議的框架內容，完善宏微觀結合的審慎監管體系、加強系統性風險和系統重要性銀行監管是中國銀行業實現高質量發展的關鍵。什麼是巴塞爾協議？為什麼是8％？如何推進實施巴塞爾協議並加強風險管理？《蒙格斯報告》公眾號推出“風險管理與巴塞爾協議講堂”專欄，介紹楊軍博士的《風險管理與巴塞爾協議十八講》的相關內容，旨在幫助讀者理解巴塞爾協議，促進金融機構風險管理水平的提升。

導 言

巴塞爾協議的核心是闡述資本與風險的關係，資本要能夠吸收意外損失。銀行面臨的風險是多種多樣的，主要有信用風險、市場風險、營運風險、銀行賬戶利率風險、流動性風險、聲譽風險、戰略風險等。其中信用風險是借款人不能按照約定償還債務的可能性，核心是違約。如何量化信用風險導致的損失程度，如何估算企業違約概率？本文摘自中國金融出版社的《風險管理與巴塞爾協議十八講》第三講違約概率，有刪改。

《風險管理與巴塞爾協議十八講》

楊軍 著

中國金融出版社

違約的概念

違約是巴塞爾協議中最基礎的概念，如何理解違約、如何統一對違約的判定標準是風險管理的基石。對於違約，有如下幾種認識：

第一種，合同性違約。銀行會和客戶簽訂一系列協議，尤其是貸款，簽訂有借款合同。如果客戶沒有按照合同約定履行義務，比如沒有按期償還貸款本金或者利息，沒有按照雙方約定提供財務報表，沒有按照合同要求保證結算量，都可以認為是違約。

第二種，技術性違約。這種違約主要是從資產負債表的角度講的。如果一個企業資產小於負債，就可以認為企業已經處於技術性破產階段。這種方法和思想是默頓模型的基礎，默頓模型就是在此基礎上，研究企業資產價值的變化，通過比較企業的資產與負債的關係，推測企業違約的概率。

巴塞爾協議中規定的違約與上述兩種標準都不同，它規定了違約的兩種情況、六條特徵，可以歸納為

第一種情況是除非採取追索措施，借款人無法全額償還銀行債務，也就是我們通常所說的第一還款來源不能全額還款。第二種情況是實質性債務逾期90天以上。

下面的六條特徵是對上述兩種情況的細化：（1）銀行停止對貸款計息。（2）在發生信貸關係後，由於信貸質量可能大幅度下降，銀行沖銷了貸款或計提了專項準備。（3）銀行將貸款出售並相應承擔了較大的經濟損失。（4）銀行同意消極債務重組，由此可能發生較大規模地減免或推遲償還本金、利息或費用，造成債務規模的縮小。（5）就借款人對銀行集團的債務而言，銀行將債務人列為破產企業或者類似的情況。（6）債務人申請破產或者已經破產，或者處於類似的保護狀態，由此將不履行或延期履行償還銀行債務。

上述六條有明確判定標準的是

有兩個需要關注的情形：第一，巴塞爾協議中講“實質性債務逾期90天以上”，什麼是實質性債務逾期，很多監管機構並沒有正面回答。香港金管局給出的判定標準是“逾期部分佔全部債務的5％或以上”。第二，如果一個企業集團中某個成員企業違約，是否判定整個集團違約。歐洲監管當局認為如果評級是針對整個集團的，就應該判定整個集團違約，但要分析這種評級方式是否妥當。結合國內實踐，有兩個原則應該堅持：一是應該以是否是實質性承貸主體來判斷。若成員企業是承貸主體，則判定成員企業違約；若集團是承貸主體，則應判定集團違約。二是以是否會產生實質性影響來判斷。如果某個成員企業是核心企業，它的違約會影響到其他成員企業，則應該判定其他成員企業為違約。

信用風險管理一直被認為是主觀性、經驗性、實踐性的問題。但從1974年默頓提出期權的估價模型以後，人們對貸款信用風險的認識有了質的飛躍和提高，默頓模型成為現代信用風險管理理論中最有創新意義、最完美的成果之一。默頓模型從理論上回答了信用風險的度量和預測問題，使信用風險不再是一個無法進行理論描述的概念，信用風險管理開始有了科學基礎。

一、公司價值的分佈

討論默頓模型之前，首先需要討論如何定量刻畫企業價值，因為默頓模型的基本思想是比較企業的價值與債務的關係。債務無論是債券還是貸款，其價值的估計相對比較容易，一般就是用現金流折現的方法進行估值；企業價值的估計則比較複雜。

現代金融一般研究上市公司的價值，因為上市公司的股票有市場價格，根據市場價格可以計算公司價值。有效市場理論認為，市場價格是隨機變化的，因為市場上存在的套利機會會很快被市場發現並消除這樣的套利機會，沒有人能夠戰勝市場。公司的價值或者股票價格是不是服從正態分佈呢？

默頓研究後提出，公司的價值不是正態分佈，但公司價值的對數服從正態分佈。這樣的分佈假設有哪些經濟含義，又有哪些研究上的便利呢？

第一，公司的價值一般不為負，價格一般都是正的，正態分佈的左邊尾部會出現負值，因此公司的價值不能假設為正態分佈。

第二，兩個價格之比的對數表示了該金融工具的收益率，這種收益率稱為對數收益率。

第三，對數收益率與一般的收益率不一樣，但可以看做是一種近似，尤其是當價格變化很小時，一般收益率是對數收益率的極限。

第四，對數收益率的優越之處在於，任意兩個收益率直接相減得到的收益率差等於這兩個時點的對數收益率，滿足可加性。

第五，對數收益率可以引入時間因素，為研究不同時間點的問題提供了有力工具。

如果對數收益率服從對數正態分佈，假設均值為μt，年度收益率的標準差為σ，時間t時的標準差為，則

二、默頓模型的原理

默頓模型研究的是企業債的信用利差與哪些因素有關。假設一個企業的價值是V，其權益是S，負債為D（貸款面值），在任意時刻t，D_t= De^-rt，r是折現率。

銀行給企業發放貸款，如果企業資產價值V大於貸款價值D（本息），銀行貸款本息可以得到償還，銀行的收益為D；如果企業資產價值小於貸款價值，銀行獲得對企業的控制權，銀行的收益為資產價值V_t，損失為D - V_t，損失最大值是貸款本息D，此時銀行的收益為0。

如果銀行支付一定的成本P₀（期權價格）買入一個看跌期權，這個期權的標的資產是企業的價值，期權的執行價格為D。如果企業的價值小於D，銀行有權以D的價格賣出標的資產，執行該期權的收益為D - V_t，同時處置該企業資產獲得V

表1 買入期權後銀行的收益分佈

看跌期權是指期權持有人約定在未來時刻能以價格D賣出一個資產。銀行支付一定的成本購買一個這樣的期權。如果實際價格高於D，持有人不會執行期權，持有人支付的期權費就是一種成本。如果實際價格低於D，持有人執行期權，在市場上先以市場上的實際價格V買入一個該資產，再以價格D賣出標的資產，但其收益是D - V，淨收益還需要減去買期權的成本。

從上面的分析可以知道，賣出期權的價格就是消除信用風險的成本，換句話講，就是信用風險的大小，這就為估計信用風險提供了一個定量工具。按照B - S期權公式，賣出期權的價格公式為

其中，N （·）是累積標準正態分佈函數；r是無風險利率；D是期權的執行價格；V是基礎資產的價值。這為信用風險的定量分析提供了理論基礎。

三、信用風險與資產負債率

假設貸款的初始價值為D₀，賣出期權的價格P₀，無風險利率r，根據無風險套利原理，期初和期末的淨現值應該相等，則有

貸款的到期收益率y可以表示如下：

將賣出期權價格P₀代入，可得

因為1 - N （ - d₂） = N （ d₂），所以

簡即為

其中，d₁、d₂是標準正態分佈點，與時間、無風險利率、波動率等有關。

這個公式意味著信用風險價差取決於兩個因素，一個是資產負債率V/（De^-rT），另外一個是資產價值波動率。如果V = 100，T = 1，r = 10％，波動性為40％、70％的資產負債率，則可得到信用風險價差為560個點差（見下表）。

表2 資產負債率、價值波動性與信用風險點差的關係

到期收益率與無風險利率的差就是信用風險溢價，可以理解為信用風險的大小，這就給出了信用風險的度量公式。公式中，V/De^-rT就是資產負債率的倒數，資產負債率越高，其倒數越小，信貸利差越大，要求的風險補償越高。這從理論上證明，根據資產負債率判斷企業的信用風險是有充分科學道理的。

四、基於默頓模型的違約概率

默頓模型是一個量化信用風險的重要工具，其核心思想是企業違約與其資產價格有關，如果資產小於負債，則企業違約。如何得到其真實的違約概率呢？

假設企業的資產價值變化服從幾何布朗運動，其資產價格變化為

Z服從標準正態分佈。設定一個門檻值D，如果V_tt≤D）。

上述就給出了一個

如果知道企業的價值E （V₁），則可以定義違約距離DD =[E （V₁） - DPT] / σ。穆迪公司根據自己的數據，校準了每一個違約距離對應的違約概率。

比如如果一個企業的市場價值為1000，資產年增長率為20％，一年後預期的資產價值為1200，違約點為800，年化資產波動率為100，違約點為= （1200 -800） /100 =4。

在穆迪公司的校準結果中，違約距離4代表的違約概率是0.4％。用這種方法可以求出每一個公司價值對應的違約概率。這就解決了違約概率的定量計量問題。

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本文源自蒙格斯報告

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