从研标读本来引领教师的专业发展
董林伟
随着初中数学新课程改革的不断推进和深化，教师越来越感觉不会教书了：“教教材”与“用教材”到底是什么意思?是不是“教教材”就意味着保守、落后?是不是“用教材”就可以任意处理教材?《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)要求数学课堂教学要以学生为主体，倡导自主、合作、探究的学习方式，课堂如果不让学生动起来，如果不关注学生说什么，那就不符合新课程的理念与要求。于是，情境多了，活动多了，形式也多样化了，课堂也热闹起来了，但是随之而来的问题与指责也多起来了，课堂教学的形式化、低效的问题等引起了人们对新课程的产生了怀疑，那么什么样的数学课堂才是符合新课程的要求呢?
上好课教好书是一个数学教师必须具备的最最基本也是最为重要的职业要求。笔者从多年的数学课堂教学观察感觉到，数学教师特别是已经成为本次课改的主力军的青年教师，越来越象新课程的“粉丝”、“追新族”，只求形式上的一种时髦，表面上的教学繁荣，不能沉下心来苦练内功，这种现象容易导致教师的专业发展成为无源之水，无本之木。随着要求课堂教学回到文本、回到教材、回到学科的呼声越来越响亮，越来越清晰，我们更加觉得教师应重研课标、重读教材，重新构筑专业发展的重要基石。
一、理解《标准》，才能确保教学不迷失方向
《标准》是根据《中华人民共和国义务教育法》、《基础教育课程改革纲要(试行)》制定的，其宗旨是推进素质教育的实施,培养学生的创新精神和实践能力，促进学生全面发展。
《标准》明确了数学课程的性质和地位，阐述了数学课程的基本理念和设计思路，提出了数学课程目标与内容标准，并对课程实施提出建议。《标准》所提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用，所规定的课程目标和内容标准是每一个学生在该阶段应达到的基本要求。《标准》是数学教学的基本出发点，在数学教学过程中，我们应当遵照《标准》的要求，充分考虑全体学生的发展，关注个体差异，因材施教。
1、要准确理解课程内容的内涵与要求
最近在组织的一次全省命题骨干教师命题技术培训活动中，有一项重要的内容是现场定向命题工作。其中第一组的第一道题是“命制一个小题(选择或填空)，考查学生对概率基本概念的理解，难度0.9”，以此了解教师对“概率概念”的理解和把握程度。几乎所有学员提供了如下的一类试题：
(1)在一个不透明的袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，其中白球3个，黄球3个，红球4个，小明摸出一个球，摸到红球的概率是 .
(2)教室里有三个电风扇A、B、C，分别由三个外形相同的开关控制.任意打开一个开关，正好打开A电风扇的概率是 ;任意打开两个开关，正好打开A、B两个电风扇的概率是 。
(3)从-1，0，1这3个数据中任选1个数作为点P的横坐标，再从余下的数据中任选1个作为点P的纵坐标，则点P位于第四象限的概率是 .
显然，上述的三个问题都出了问题，将“求简单随机事件的概率”完全替代了“概率概念的理解”理解。不难想象出数学课堂教学过程的“概率概念”的教学是怎样的一种情景了，学生出现“中奖概率是1/1000，那么买1000张必有1张获奖”这样的一些常识性的错误也就不怪了。
对于概率的学习，重点是在具体情境下对其意义的理解，学生应在大量的随机试验中了解概率与频率的关系，并能根据概率做一些简单的决策。例如可以引导学生讨论“明天的降水概率为80%”的涵义，学生通过讨论将知道明天下鱼的可能性比较大，虽然有可能明天不下雨，但带伞应该是明智的做法。还可以进一步向学生解释80%的含义：在100次类似于明天的天气下，历史记录中大概有80天有雨。对于概率在数学上的严格定义，在初中阶段不作要求。
由此可见，研究〈标准〉准确把握教学内容的具体内涵和要求，才能保证我们的教学不跑偏，不跑调，真正体现出课程的目标。
2、要从整体上把握课程内容的定位与目标
《标准》中对教学内容都有精确的描述，教师应仔细研究、反复推敲其中的含义，特别是在《标准》整体的了解以及与原有的《大纲》对比的基础上，才能更加把握新课程对这部分内容的具体的定位与目标。
例如“关于一元二次方程的概念与求解”，《标准》的阐述如下：(1)能根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。(2)经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。(3)理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法、解简单的数字系数的一元二次方程。(4)能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
与原《大纲》相比，《标准》在这部分突出了模型思想，关注了从具体问题情境中方程的抽取、检验等;增加了方程解的估计。《标准》为什么要作这些改变?
新的数学课程将获得知识与技能的过程本身也作为数学课程的重要目标。因此，许多数学概念(数、方程、函数、图形等)，都是从人们生活和生产的需要中产生和发扎起来的，都是刻画现实世界的数学模型，学生不仅要掌握它们，还要能在对实际问题的探索中抽象出这些模型，这就需要学生经理观察、操作、归纳、概括、描述、交流等过程，这些过程本身就是概念学习应该达到的目标之一。在弄清这些变化的原因后，你就不难理解为什么方程概念的教学的关注点是从现实背景中列方程，而不是方程的辨析了。
另外，我们还应该从第三学段”数与代数”的整体上去考虑这部分内容的变化与要求。因为《标准》降低了因式分解的要求，削减了二次三相式的十字相乘法，自然这里也就不再要求利用十字相乘法解一元二次方程了。
课程中的具体内容并不是孤立的，而是有相互联系，相互影响的，有些内容在学生的学习阶段呈现的是螺旋式上升。因此我们在实施课程时，应全面了解新课程产生的背景，新课程内容设置的意图及其在整个初中乃至整个基础教育阶段的地位、作用与目标，才能在局部上准确把握教学的目标要求。
3、追求形式不能丢了数学的本质
一堂“轴对称概念”上，老师精心准备了许多模型以及三角形的纸片，学生课前也准备好了正方形、长方形纸片，上课时人人动手折纸，并采用小组讨论、集中交流，在折纸游戏活动中似乎学会了轴对称。可是，在一名学生在实物投影仪上无法对折一个三角形图形时，这个同学很疑惑，同学、老师也都没有理会，一堂数学课就在热热闹闹活动中结束了。
从形式上看，这节课似乎体现了课改的精神，贯彻了新课程的理念，但我们发现学生对轴对称的一些重要概念尚不清晰，上课时老师没有重点讲解，也没有让学生认识理解，在学生出现问题是也没有抓住有利机会进行适时的进行引导和分析补充。热闹的课堂、多样化的学习形式却忽视了对数学本质的认识与理解。
新课程强调数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案，选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。但是，在追求新课程课堂教学的形式的同时，千万不能丢了根本，这个根本就是数学的基础知识、基本技能以及在过程中获得的基本思想和方法，也就是要求教师需在深钻细研数学课程标准的基础上，准确理解数学内容的本质意义，准确领会课程内容的目标与要求，才能抓住重点，才能做到形式为本质服务。
二、研究教材、明白教材，才能用好教材教好书
《纲要》指出：教材改革应有利于引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识的发生与发展，同时有利于引导教师创造性的教学。新课程实验教材从内容到呈现方式都为教师创造性教学提供了发展的空间，这种创造性的发展空间对教师来说无疑是一种挑战，一不小心就成了东施效颦、邯郸学步，没有吃透教材的创造容易成为一种“乱折腾”。
教材是学生所学知识的载体，它为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。教材是数学教学的媒介，是师生进行对话的“话题”，师生进行教学活动的目的不是记住“话题”本身，而是为了“话题”为中介进行交流，获得发展。对一名数学教师来说，如果连教材的知识体系把握不准，对教材的编写意图琢磨不透，对教材的“话题”的意义与作用认识不清，如何能有目的地与学生进行对话、有意义地进行交流呢?
1、应了解一般新课程数学教材的基本特征
数学教材的编写的依据是《标准》，一般都具有以下的几个方面的基本特征：
(1)教材所选择的学习素材比较好地体现与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。
(2)教材内容的呈现体现了数学知识的整体性。教材不仅关注了同一领域内容之间的相互联系，还注意到不同领域之间实质性的关联，如采用混编的形式组织教材，或选择若干个具体的课题以体现数学不同领域之间的联系，展示数学的整体性。
(3)体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用过程，引导学生进行自主探索与合作交流。如教材一般都采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开，设立问题情境，以问题串的形式展开探索和交流，让学生经历“做数学”的过程;设置“做一做”、“想一想”、“议一议”等栏目，提供学生操作、思考、交流的机会，感受、领悟和应用基本数学思想和方法。
以上的一些编写特征，始终贯穿于任何一套经过教育部审定通过的实验教材。从本质上说，教材充分体现了新课程的基本理念，体现了新课程数学教学的基本要求。在数学教学前全面了解教材这些基本特征将有助于教师整理把握教材，实施教学。
2、要明白使用教材的编排体系与主要特色
新课程改革以来，我国中小学数学教材建设进入了“一标多本”的时代。由于《标准》中的内容标准是按照学段制定的，并未规定学习内容的呈现顺序，教材可以在不违背数学知识体系的基础上，根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验，合理地安排学习内容，形成自己的编排体系，体现出自己的风格和特色。明白了教材的编排体系与主要特色，教师才能真正去实现教材编写意图，才能够合理、科学地使用好教材，才能实现数学课程的教育目标。
(1) 了解教材编写的指导思想
教材编写的指导思想体现了编者对《标准》理念的认识、理解与把握，是编者引导教师实施《标准》理念且具有操作意义的行动指南。这些思想贯穿于教材始终，全面了解这些思想有助于教师全面了解教材的特点，整体上把握教学的总体方向与要求，有利于课堂教学的顺利实施。
如“注重过程和数学思想方法”是江苏科学技术出版社出版的初中数学教材(以下简称“苏科版”)的编写思想和特色之一。编写者认为：“过程”是丰富多彩的，往往隐含了基本数学思想、体现数学的价值;结论是重要的，但结论的获得离不开过程。因而，对于那些较好地体现基本数学思想的教学内容，教材适度地展开了过程。比如，展开有理数加法、乘法等法则规定的过程，引导学生感受分类、归纳等基本思想;用有理数近似地估计一元二次方程根的过程，引导学生感受“逼近”的思想;“选举环保小卫士”的活动过程，引导学生经历“收集数据、处理数据、做出决策”统计的全过程……等。另外，教材在“阅读”栏目中，除了介绍一些数学史料和知识性的内容外，注重对渗透在“过程”中的基本数学思想，加以简要的介绍。比如，本套教材先后提供了“分类”、“归纳”、“转化”、“类比”、“互逆变形”、“全等变换”、“相似变换”……等阅读材料，以帮助学生学会“数学思考”。了解编者的这些意图无疑帮助实验教师关注“过程”，并在初中阶段分阶段、有计划地在这些过程中逐步渗透数学思想与方法。
(2) 熟悉教材内容的编排体系
每套教材都有自身的内容编排体系，这是编者建立在对课程的全面分析与考量基础后构建的教材特色之一。这样的体系一般不可以随意改变相关模块内容及顺序，否则容易造成前后知识、要求等的错位，以造成教学上的混乱。因此，熟悉教材的编排体系及其设计思路，将有助于帮助教师整体上了解教学内容的相关顺序、相互关联以及在不同阶段的相关要求。
例如，“苏科版”教材对“空间与图形”中的主要关注点——推理与证明，有以下几点考虑：一是合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，应当把它们有机地结合起来;二是证明的本质是通过有条理、符合逻辑的推理确认一个命题的正确性，而不是它的表达形式(如形式化的三段论证);三是几何中使用简化的三段论证，把“大前提、小前提、结论”的顺序改变为“小前提、结论、大前提”，初学者难以掌握其中的因果逻辑关系。基于这样的考虑，本套教材对“推理与证明”整体性设计如下：
l 在七(上)—八(下)三册教材中，采用合情推理的方式探索《标准》规定的所有图形性质，并在此过程中不断引导学生学习“有条理的思考，有条理的表达”，弄请说理中的因果关系。这种“引导”，教材的呈现方式又分成4个不同的表达形式：
在七(上)中，用不分段的“因为…，所以…”说理(类似于日常生活中的说理);
在七(下 )中，用分行的“因为…，所以…”说理，分清因与果的层次;
在七(下)和八(上)中，用“根据…，因为…，所以…”(即“大前提、小前提、结论”)的方式，或“因为…，根据…，所以…”(即“小前提、大前提、结论”)的方式说理;
在八(上)中，用“因为…，所以…，理由是…”(即“小前提、结论、大前提”)的方式说理。
这种说理方式与“∵…，∴…(……)” 形式化的证明的表述基本一致，从而为学生进入演绎论证阶段的学习打下坚实的基础。
l 在八(下) “图形与证明(一)”11.1—11.2节中，通过实际例子，引导学生感受证明的必要性; 八(下)11.3—11.4节及九(上)第3章“图形与证明(二)”，则采用演绎推理的方式，证明曾探索得到的各类图形性质，从而引导学生学会综合法证明的书写格式，感受公理化思想;同时注重引导学生逐步学会分析法、综合法，体会反证法的思想。
l 在(1)、(2)的基础上，教材在九(上)第4章“中心对称图形(二)”中，尝试如下的方式编写：先用合情推理的方式探索、发现圆的某些性质(如通过折纸发现“垂径定理”、“切线长定理”等);再用演绎推理的方法，通过证明“获得同样的结论”。这样，力求使学生真正感受“合情推理与演绎推理都是研究图形性质的重要方法，两者相辅相成”，并学习用多种方法研究图形的性质
不同的教材在处理同一内容时有不同的考虑，因而产生不同的编排体系。如关于“勾股定理与实数的顺序”：
方式1：先学习开平方、无理数、实数等，然后学习勾股定理;
方式2：先学习勾股定理，然后在勾股定理的运用中发现开方开不尽的数，从而引入对这些数的研究，给出平方根概念，研究其与以前学过的数(有理数)之间的关系，从而引入无理数的概念。
两种设计各有利弊，前者为学生的铺垫很好，在利用勾股定理解决问题时顺理成章，但不符合历史的发展过程，难以揭示无理数研究的必要性，后者则与之相反。了解这些编写意图，有利于教师在教学过程中发挥优势，也有利于教师采取一些必要的措施尽量弥补其不足。
(3) 明白栏目的定位与要求
栏目是数学教材对数学教学某种特定要求的具体体现，如““做”数学”是“苏科版”教材编写的一个重要特色。
“课题学习”是学生“做”数学的一种重要途径。该套教材的“课题学习”由两部分组成：一是每册安排的一个“课题学习”;二是各章设置的“数学活动”——结合本章内容安排的1课时“数学活动”。
“课题学习”和“数学活动”的设计突出“动”和“用”两个字，引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识;感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验。
不同年级的“数学活动”，力求体现一定的层次性：七年级侧重于“游戏”、“调查”、“制作”;八年级侧重于“调查”、“制作”、“设计”;九年级侧重于“制作”、“设计”、“课题研究(研究报告)”。
根据各章节的具体教学内容，适当地采用引导学生“‘做’——感受和体验——主动获取数学知识”的方式呈现，即在学生通过“做”(参与活动)并获得感受的基础上，揭示具体“事例”的数学本质，然后再明晰有关知识。
此外，各章的“章头”中，也结合本章内容设计一些与本章内容有关的简单问题，引导学生借助生活经验或已有知识，通过“做”(操作、实验等)探索解决问题的途径和方法，从而激发学生学习本章的兴趣。
又如教材设置了引导学生“做”数学的栏目——“数学实验室”。引导学生通过“做”，感受数学;探索知识和结论;应用所学知识解决简单问题。这个栏目各年级的大体要求：
七年级——感受(知识、方法、价值等)和体验，会描述实验过程中的数学现象，能寻找解决简单问题的方法;
八年级——感受和体验，验证和发现一些简单的规律或结论，设计和构造(简单的几何体、图形、图案、式子等)，会表述实验的过程和结果;
九年级——探索实验现象的联系和规律，在实验过程中能反思和质疑，发展推理能力。
“数学实验室”在教材的具体章节中的位置不同，它的教学功能也有所不同：在小节开头——引导学生通过“做”感受数学;在小节中间——引导学生通过“做”探索知识和结论;在小节最后——引导学生通过“做”应用所学知识解决简单问题。
只有理解了教材设置的这些栏目的用意与要求，教师才能在教学过程中采取恰当的方法与手段实现教材的意图，真正在教学中落实课程的要求。
(4) 理解具体内容的设计思路
数学教学应避免把数学知识的应用变为单纯的题型操作，而忽视解决问题中的数学思想与方法的错误倾向。在应用数学知识解决实际问题时，“苏科版”教材进行了以解决问题的策略为主线、而不按“题型分类”的编写尝试。
例如关于“用一元一次方程解决问题”的内容，教材在七上4.3用方程解决问题中，问题1揭示了用方程解决问题的一般步骤;问题2用表格作为建模策略;问题3用线形示意图作为建模策略;问题4用线形示意图和表格共同作为建模策略，同时指出问题4也可以用环形图来解释相等关系;问题5可以用表格和圆形示意图揭示总量与部分之间的关系;问题6则可用柱状或线形示意图来分析。
教材是教学改革的物化成果，是广大编写人员对新的课程标准的理解与诠释，是教师成功教学经验的总结，同时更是师生实现顺利对话的文本。一套好的教材合理利用可以成为教师教学的依据，可以成为学生独立钻研自主学习的参考资料，可以成为教师指导学生学习的有效工具……
“教什么”、“怎么教”，《标准》与教材都是重要的标准与依据。这就要求我们必须重视对《标准》和教材的研究，只有理解《标准》、明白教材，才能使教师具有更宽的视野、更强的教学设计和控制能力，对大多数教师来说这也是一种专业水平提高的过程。
主要参考文献
《全日制义务教育《数学课程标准》(实验稿)》解读 北京师范大学出版社
《义务教育课程标准初中数学实验教科书》 江苏科学技术出版社 杨裕前 董林伟主编
《有效的数学教学技能》 吉林大学出版社 董林伟 李善良主编
《数学课程设计》 高等教育出版社 刘兼等
《实现数学课堂教学有效性的思考与建议》 中学数学月刊07年第6期 董林伟
《和谐教育：以人为本的教育愿景》 江苏教育研究(理论版)08年第11期 董林伟
《当前数学教学值得关注的几个观念问题》 中国数学教育08年第9期 董林伟
本文发表于《中国数学教育》2009年第7期
人大复印资料《中学数学教与学》2009年12月全文转载
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