將1、2、3……10這10個整數，按照一定的順序圍成一圈。
問題1：是否存在一種順序，使得相鄰三個數的和的最大值為18。
解：存在，如圖1。
圖1
問題2：是否存在一種順序，使得相鄰三個數的和的最大值為16。
解：不存在。
設a1、a2、a3……a10是將1、2、3……10這10個整數的一種環形排列。
則
（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+（a3+a4+a5）+……+（a9+a10+a1）+（a10+a1+a2）
=3×（a1+a2+a3+……+a10）
=3×（1+2+3+……+10）
=165。
假設相鄰三個數的和的最大值為16，則上式中的和不可能大於160，這與上式中的和為165矛盾。所以假設錯誤。
問題3：是否存在一種順序，使得相鄰三個數的和的最大值為17。
解：要使相鄰三個數的和最大值不超過17，10與9、8、7之間至少要間隔2個數，如圖2，9，8，7三數必須在下方的五個位置中。
圖2
不妨假設9在左側，由於9與8之間至少間隔2個數，9與7之間至少間隔1個數。所以9、8、7的位置只有以下5種情況：
情況1：如圖3。
圖3
填好1，2以後，6無處安放，如圖4。
圖4
情形2：如圖5。
圖5
因為6不能與10相鄰，這時6只能與9相鄰，這時1、2既需要與7、8相鄰，又需要與6、9相鄰，不能實現。
情形3：如圖6。
圖6
這時6只能放9或者8上面的位置，無論放那裡，5、4沒地方放。
情形4：如圖7。
圖7
因為6不能與10相鄰，這時6只能與9相鄰，這時1、2既需要與7、8相鄰，又需要與6、9相鄰，不能實現。
情形5：如圖8。
圖8
發展如圖9，這時6無處放。
圖9
綜上，相鄰三個數的和的最大值為17是不可能的。
對於問題3，不知道是否有簡明的方法，在此求教方家。
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