牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。
由於吃的天數不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數不斷地變化。解決牛吃草問題重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由於是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的。這類問題常用到四個基本公式，分別是：
（1）草的生長速度＝（對應的牛頭數×吃的較多天數－相應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數－吃的較少天數）；
（2）原有草量＝牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；
（3）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；
（4）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。
這四個公式是解決牛吃草問題的基礎。一般設每頭牛每天吃草量不變，設為"1"，解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地裡原有草的數量，進而解答題總所求的問題。
核心公式： 草場草量＝（牛數－每天長草量）×天數
基本不變量：單位面積牧場上原有草量不變， 一般用來列方程
每頭牛每天吃草量不變， 一般設為“1”
單位面積牧場上每天新增草量不變，一般設為“x”
【實例詳解】：
【例1】一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供20頭牛吃12天，那麼25頭牛幾天可以吃完？
解法1：原的生長速度=（16×20-20×12）÷（20-12）=10牛/天
原有草量=16×20-10×20=120牛
吃的天數=120÷（25-10）=8天
解法2：設該牧場每天長草量恰可供x頭牛吃一天，這片草場可供25頭牛吃n天。
根據核心公式：(16-x)×20＝（20－x）×12＝（25－x）×n
（16－x）×20＝（20－x）×12，得x＝10，代入得n＝8
【例2】有一塊牧場，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供多少頭牛吃4天？
A.20 B.25 C.30 D.35
【答案】C
【解析】設該牧場每天長草量恰可供x頭牛吃一天，這片草場可供n頭牛吃4天
根據核心公式：（10－x）×20＝（15－x）×10＝（n－x）×4
（10－x）×20＝（15－x）×10，得x＝5，代入得n＝30
【例3】如果22頭牛吃33公畝牧場的草，54天后可以吃盡，17頭牛吃28公畝牧場的草，84天可以吃盡，那麼要在24天內吃盡40公畝牧場的草，需要多少頭牛？
A.50 B.46 C.38 D.35
【答案】D
【解析】設每公畝牧場每天新長出來的草可供x頭牛吃1天，每公畝草場原有牧草量為y，24天內吃盡40公畝牧場的草，需要n頭牛
根據核心公式：33y＝（22－33x）×54，
得y＝（2－3x）×18＝36－54x
28y＝（17－28x）×84，得y＝（17－28x）×3＝51－84x
解方程，得x＝1/2，y＝9，
因此，40×9＝（n－20）×24，得n＝35，選擇D
【註釋】這裡面牧場的面積發生變化，所以每天長出的草量不再是常量。
【例4】由於天氣逐漸冷起來，牧場可上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？
【解析】設該牧場每天減草量恰可供X頭牛吃一天，這片牧場可攻N頭牛吃10天。
根據核心公式：（20+X）*5=（15+X）*6=（N+X）*10
得X=10，N=5.
【例5】一個水池裝一個進水管和三個同樣的出水管。先打開進水管，等水池存了一些水後，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那麼8分鐘後水池空；如果同時打開3個出水管，那麼5分鐘後水池空。那麼出水管比進水管晚開多少分鐘？
【解析】假設晚開N分鐘，則(2-X)*8=(3-X)*5=X*N
求得X=1/3 N=40分鐘
【例6】物美超市的收銀臺平均每小時有60名顧客前來排隊付款，每一個收銀臺每小時能應付80名顧客付款。某天某時刻，超市如果只開設一個收銀臺，付款開始4小時就沒有顧客排除了，問如果當時開設兩個收銀臺，則付款開始幾小時就沒有顧客排隊了【浙江2006】
A.2小時 B.1.8小時 C.1.6小時 D.0.8小時
【答案】D
【解析】設共需n小時就無人排隊了，（80－60）×4＝（80×2－60）×x，解得x＝0.8
【例7】某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那麼需多少分鐘？
【解析】等候檢票的旅客人數在變化，“旅客”相當於“草”，“檢票口”相當於“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。
(4—X)*30=(5-X)*20=（7-X）*n n=12
【例8】有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？
【解析】假設每公頃草地恰可供X頭牛吃1天，每公頃草地原有的草量為Y,8公頃草地可供19頭牛吃N天
5Y=（11-5X）*10
6Y=（12-6X）*14
得：X=1.5 Y=7
8Y=（19-8*1.5）*N N=8天
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