伽利略說可以用對數來創造整個宇宙，對數有這麼重要？

天文學自古有之，從天文觀測開始，就與計算密不可分。我國元代天文學家，數學家郭守敬計算了一個地球年為365.2425天，這個結果與現代天文學測算僅相差26秒，在那個僅靠肉眼觀測和算籌計算的時代就可以得到這樣的結果，真是讓人歎為觀止！

我國古代著名天文學家 數學家 郭守敬

大約文藝復興時期，歐洲近代科學開始起步，天文學的發展也走上了高速軌道，丹麥天文學家第谷通過肉眼觀測留下了海量的極為精準的觀測數據，這些數據也為他的學生開普勒發現行星運行三大定律做了數據基礎。望遠鏡誕生之後，伽利略用自己發明的望遠鏡觀測到木星有4顆衛星，並且發現了土星環。

近代物理學先驅 伽利略

然而僅僅通過觀測是很難揭露出星體運行的本質的，瞭解萬有引力定律的同學都知道，如果想計算行星的質量，則必須要先得到兩個星體之間的距離。在那個沒有任何計算工具的時代，人們只能從海量的觀測數據裡去尋找，然後計算，這裡的計算可不止是加減乘除或者開方什麼的運算。在計算行星週期的時候，就必須要在不同季節，不同位置採集大量數據，通過這些數據之間的內在關係，推導出週期的大概數值，再通過理論計算的數值，與實際採樣點的觀測結果比較，如果誤差極小，那麼就說明就已經從理論上算出了這個行星的運動規律。知道了運行規律之後，天文學家們就可以預言這個星體的某些天象。

現在我們都可以通過很多公式來推算太陽系的行星運動規律，在500年前，問題可大不一樣。往往天文學家觀測星體運動只要一個月，然後分析計算數據卻要好幾年。我們通常都把很大的數字叫作天文數字，顧名思義，但凡涉及到天文學方面的計算，數量級通常都大得驚人，如果對於這麼大的數據來進行多次乘方，開方運算，可想而知，這樣的工作量該有多恐怖。所以那個時代的天文學家其實更加像是星象觀測者和計算工作者。

天文學家們很期待，可以發明出一種簡化計算法來代替那些複雜枯燥的大數值計算。

很快一位叫納皮爾的男爵做了這項工作，1550年，納皮爾出生在蘇格蘭，是一位神學家，同時也精通數字計算。納皮爾興趣在球面三角學的有關計算，而球面三角學又跟天文學密切相關。

納皮爾男爵與《奇妙的對數定理說明書》

納皮爾的對數思想來自下面的兩組數列：

• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...
• 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024...

假設我們現在要去算16×512，按照傳統的方法，那就只能從表面直接去計算，毫無疑問，這樣的計算繁雜不堪（當然實際上基本不會出現這樣淺顯的“繁雜計算”）。納皮爾注意到，上下兩個數列的關係，容易看出16=2^⁴ ，512=2^⁹ ，因此16×512=2^⁴×2^⁹=2^¹³ ，於是，我就只要在第二個數列中找出第一列中13對應的那個數字就行了。納皮爾把第一個數列就叫作對數，在納皮爾那個時代還沒指數的概念，指數和對數的互逆性質一直到18世紀的歐拉才發現。但是他的這種簡化計算的思想跟現在完全相同，只不過那個時候“底”這個概念也是缺乏的。我們現在很清楚了，納皮爾實際上是發現了計算規則

1594年，納皮爾對於對數的思想正式萌芽，經過20年的研究，1614年，他將自己研究成果寫作成著作《奇妙的對數定理說明書》一書，書中系統闡述了對數的理論知識，同時附上了一套正弦對數表。此書一出，立刻引起轟然大波，最為驚喜的當然是痛苦的天文學界。對數問世之後，倫敦的一位數學教授布立格斯最先意識到對數的劃時代意義，絕不僅僅只是為了簡化天文學方面的計算，在純數學上更是有著極大的普適性。於是，他在1616年拜訪了納皮爾，建議納皮爾編寫以10為底的對數表，以10為底將會更加簡化計算，那個時代已經有了十進制的科學計數法。兩位數學家相見如故，納皮爾很快就接受了布里格斯的建議。可惜，事與願違，納皮爾在第二年就去世了，以10為底的對數表就這樣擱置了。於是，布里格斯教授繼承了納皮爾的遺志，窮盡7年時光，造出了以10 為底的1到20000，90000到100000之間的對數表，剩下的20000—90000之間的數據，在1628年由荷蘭數學家佛拉格補充完全。於是，現在我們用的對數表就這樣完全誕生了。一直到21世紀初，中學的教材裡都會附加一本《常用對數表》。

近代天文學先驅 開普勒

開普勒也幾乎在同時代發現了三大行星運動定律。牛頓說“他的成就是站在巨人的肩膀上得到的”，開普勒絕對算是這些巨人之中的一個。開普勒在獲得第谷完整的觀測數據之後，經過6年的大量計算得到了第一，第二運行定律，又經過了9年的大量計算才獲得了第三運動定律。在此之前，開普勒已經知道

數學上的直覺讓他認為，公轉週期和太陽距離之間一定存在著某種關係，這些看似毫不相干的數據內在肯定存在一條普遍成立的規律。開普勒對這些數據進行過數不盡的騰挪變換，始終得不到一個完整的定律。就在無窮無盡的計算之海中，開普勒看到了納皮爾的對數理論，於是他開啟了一段新的思路。他對這週期和太陽距離做了下面的變換：

這裡的T^2 ,R^3 吻合得令人咋舌，讓人不得不相信這樣的內在關係，於是開普勒第三運動定律終於誕生。

現在我們知道，即使在沒有第谷的任何觀測數據的情況下，用微分方程來分析，就可以從理論上直接推導出三大行星運行定律。但是當時的數學工具匱乏，即使是像開普勒這樣精於計算的數學大神也要花費20年才能得出最終的結論。現在看來，假如沒有納皮爾對數的思想來啟發開普勒，可能第三定律還要困住他很久很久。

永恆的行星運動

至此，對數對於現代科學的影響已經不僅僅是在天文學上，也擴散到了幾乎所有的自然科學領域，計算上獲得了巨大的改進，節省下來的時間足以讓人們做更多的探索。

伽利略說：“給我時間，空間和對數，我就可以創造出整個宇宙。”這當然是誇張的說法， 也從側面說明，對數的發展是多麼地及時有效。恩格斯更是把解析座標系，對數，微積分作為17世紀數學界最偉大的發明。

縱觀整個數學的發展史，通常里程碑式的發展都是因為重大工具的發明引起的。比如對數，微積分的發明。在這些工具出現之前，人們去一個遠方就只能步行過去，快的人要有一個月，慢的人甚至要一年，這些工具出現之後，人們才開始坐上了汽車，火車，甚至飛機，將之前的望山興嘆，望洋興嘆通通變成了坦蕩征途。

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