解答有關點和線的位置關係、線段條數或長度、角的個數或大小等問題時，如果題目中沒有給出具體的圖形，而根椐題意又可能出現多種情況，就應不重不漏地分情況加以討論.
一.分類思想在線段的計算中的應用
1.已知線段AB=12，在線段AB上有C，D，M，N四點，且AC:CD:DB=1:2:3，AM=AC/2，DN=DB/4，求線段MN的長.
【分析】本題AB=12，AC:CD:DB=1:2:3，A、C、D、B四點位置確定，又AM=AC/2，∴M點位置也確定，而DN=DB/4，這一條件比較模糊，N點可能在D點左側，也可能在D點右側，因此線段MN的長也就分兩種情況來解.
解:因為AB=12，AC:CD:DB=1:2:3，所以AC=AB/6=12×1/6=2，CD=AB/3=12×1/3=4，DB=AB/2=12×1/2=6，因為AM=AC/2，DN=DB/4，所以MC=AM=AC/2=2×1/2=1，DN=DB/4=6×1/4=3/2.如圖.
①當點N在點D右側時，如圖①，MN=MC+CD十DN=1+4+3/2=13/2;
②當點N在點D左側時，如圖②，MN=MC+CD一DN=1+4一3/2=7/2，
綜上所述，線段MN的長為13/2或7/2.
2.如圖，點O為原點，點A表示的數為1，點B表示的數為一3.
(1)若點P在數軸上，且PA十PB=6，求點P表示的數.
(2)若點M在數軸上，且MA:MB=1:3，求點M表示的數;
(3)若點A的速度為5個單位長度/s，點B的速度為2個單位長度/s，點O的速度為1個單位長度/s，A，B，O同時向右運動，幾秒後，點O恰為線段AB的中點？
【分析】(1)點P位置不確定，可分點P在A，B之間，點P在A點右邊，點P在A點左邊，三種情況討論.(2)也分M在線段AB上，M在線段BA的延長線上和M在線段AB的延長線上三種情況討論.③已知速度，顯然得設時間為未知數表示出各點運動的距離，再表示出各自在數軸上對應的數，利用OA=OB列方程求解，注意處理好，數軸上兩個數與兩個點間距離的關係，(在數軸上有A，B兩點，點A在點B的右邊，設A點表示的數為a，B點表示的數為b，則線段AB的長為a一b).
解:(1)①當點P在A，B之間時，顯然不合題意，捨去;
②當點P在A點右邊時，因OB=3，OA=1，所以PA=1，則P點表示的數為2，
③當點P在B點左邊時，由於AB=1一(一3)=4，所以PB=1，則P點表示的數為一4，
(2)①M在線段AB上時，顯然M表示的數為0.
②M在線段BA的延長線上時，設M表示的數為m，則MA=m一1，MB=m一(一3)=m十3，由於MA:MB=1:3，所以3(m一1)=m+3，解得m=3，即M表示的數為3，
③M在線段AB的延長線上時，顯然不合題意，捨去.
(3)設運動xs時，點B運動到點B'，點A運動到點A'，點O運動到點O'，此時O'A'=O'B'，點A'，B'在點O'兩側，則BB'=2x，OO'=x，AA'=5x.所以點B'表示的數為2x一3，點O'表示的數為x，點A'表示的數為5x+1，因為O'A'=5x+1一x=4x+1，O'B'=x一(2x一3)=3一x，所以4x+1=3一x，解得x=0.4，即0.4s後，點O恰為線段AB的中點.
二.分類思想在角的計算中的應用
3.如圖，已知∠AOC=2∠BOC，∠AOC的餘角比∠BOC小30°.
(1)求∠AOB的度數;
(2)過點O作射線OD，使得∠AOC=4∠AOD，請你求出∠COD的度數
【分析】(1)角的計算題，一般列方程求解.(2)由於射線OD位置不確定，所以分OD在∠AOC內部和OD在∠AOC外部兩種情況討論.
解:(1)設∠BOC=x，則∠AOC=2x，由題意得，90°一2x+30°=x，解得x=40°，因為∠AOC=2∠BOC，所以∠AOB=∠BOC=40°
(2)如圖，
當OD在∠AOC內部時，如圖①，由(1)知，∠AOC=80°，因為∠AOC=4∠AOD，所以∠AOD=20°，所以∠COD=∠AOC一∠AOD=80°-20°=60°.
當OD在∠AOC外部時，如圖②，由(1)知∠AOC=80°，因為∠AOC=4∠AOD，所以∠AOD=20°，所以∠COD=∠AOD十∠AOC=20°+80°=100°.
綜上，∠COD的度數為60°或100°.
4.已知OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC.
(1)如圖，若OC在∠AOB內，探究∠MON與∠AOB的數量關係;
(2)若OC在∠AOB外，且OC不與OA，OB重合，請你畫出圖形，並探究∠MON與∠AOB的數量關係.
【分析】(1)依據圖結合角平分線的性質，推導即可.(2)因為OC在∠AOB外，考慮OC的位置，應分OC靠近OB一側;OC靠近OA一側;OC遠離OA，OB三種情況推導.
解:(1)因為OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC=1/2∠AOC，∠NOC=1/2∠BOC，所以∠MON=∠MOC+∠NOC=1/2∠AOC十1/2∠BOC=1/2(∠AOB+∠BOC)=1/2∠AOB.
(2)如圖
①當OC靠近OB一側時，如圖①，因為OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC=1/2∠AOC=1/2(∠AOB+∠BOC).∠NOB=1/2∠BOC，所以∠MON=∠MOB+∠NOB=∠MOC一∠BOC十1/2∠BOC=∠MOC一1/2∠BOC=1/2(∠AOB十∠BOC)一1/2∠BOC=1/2∠AOB.
②當OC靠近OA一側時，如圖②，因為OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠AOM=1/2∠AOC，∠NOC=1/2∠BOC=1/2(∠AOB十∠AOC)=1/2∠AOB+1/2∠AOC，所以∠MON=∠AOM+∠AON=1/2∠AOC+(∠NOC一∠AOC)=∠NOC一1/2∠AOC=1/2∠AOB十1/2∠AOC一1/2∠AOC=1/2∠AOB.
③當OC遠離OA，OB時，如圖③，因為OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC=1/2∠AOC，∠NOC=1/2∠BOC.所以∠MON=∠MOC+∠NOC=1/2∠AOC+1/2∠BOC=1/2(360°一∠AOB)=180°一1/2∠AOB.
綜上所述，∠MON與∠AOB的數量關係是∠MON=1/2∠AOB或∠MON=180°一1/2∠AOB.
【總結】解決問題，遇到不確定因素時，分類討論的方法自然就登場了.注意分類時，找準分類的標準，做到不重複，不遺漏，方能正確解答，盡善盡美。
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