解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图象用含未知数的代‘数式表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待定字母系数的方程(组)，解方程(组)即可求得所求几何图形中的未知数或函数解析式中待定字母的值.。简写为:设未知数→表示相关量→列方程(组)→解方程(组)→求相关量.
题型一.反比例函数与三角形的综合
1.如图，△ABC三个顶点分别为A(1，2)，B(4，2)，C(4，4)，若反比例函数y=K/x在第一象限内的图象与△ABC有交点，求K的取值范围.
【分析】由于△ABC是直角三角形，当反比例函数图象经过点A(1，2)时，K最小且为2，当反比例函数图象经过C(4，4)时，K最大且为16，∴K的取值范围是2≤K≤16.
2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ACB的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=K/x(K>0)的图象经过BC边的中点D(3，1).
(1)求这个反比例函数的解析式;
(2)若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上.
①求OF的长;
②连接AF，BE，求证:四边形ABEF是正方形.
【分析】(1)因为反比例函数y=K/x(K>0)图象过BC边的中点D(3，1)，∴K=3，∴反比例函数的解析式为y=3/x.
(2).①∵D(3，1)是BC边的中点，且∠ACB=90°，∴B点坐标为(3，2)，由于△ABC与△EFG成中心对称，∴△EFG≌△ABC，∴GE=AC=1，GF=Bc=2，∠EGF=∠ACB=90°，则E点横坐标为1，由于点E在反比例函数y=3/x的图象上，当x=1时y=3，∴OF=OG一GF=3一2=1.
②如图，
∵D(3，1)，∠ACB=90°，∴OC=3，则OA=OC一AC=3一1=2，∵FG=OA=2，OF=GE=1，∠EGF=∠FOA=90°，∴△EFG≌△FAO，∴EF=AF，∠GEF=∠OFA，∵∠EGF=90°，∴∠GFE十∠GEF=90°，∴∠GFE+∠OFA=90°，∴∠EFA=90°，当然由△FOA≌△ACB，也可证出∠FAB=90°，∴EF∥AB，∵△ABC与△EFG成中心对称，∴AB=EF，∴四边形ABEF是平行四边形，又∠EFA=90°，∴四边形ABEF是矩形，又∵EF=AF，∴四边形ABEF是正方形.
3.已知点A(a，m)在双曲线y=8/x上且m<0，过点A作x轴的垂线，垂足为B，
(1)如图①，当a=一2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C.①若t=1，直接写出点C的坐标;②若双曲线y=8/x经过点C，求t的值.
(2)如图.②，将图①中的双曲线y=8/x(x>0)沿y轴折叠得到双曲线y=一8/x(x<0)，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=一8/x(x<0)上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.
【分析】(1)当a=一2时，A点为(一2，m)代入y=8/x，得m=一4，∴A点坐标为(一2，一4)，B点坐标为(一2，0).
①当t=1时，则P点坐标为(1，0)，PB=1一(一2)=3，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，∴xC=xP=1，PC=PB=3，∴C点坐标为(1，3).
②∵B点坐标为(一2，0)，P点为(t，0)，∵双曲线y=8/x的图象分布在一、三象限，当点C在第三象限时，P点应在B点左侧，如图<1>，BP=一2一t，xC=xP=t，PC=PB=一2一t，∴C点坐标为(t，t+2)，当点C在第一象限，P点在B点右侧，如图<2>，xC=xP=t，PC=BP=t+2，∴C点坐标为(t，t+2).综上，C点坐标为(t，t+2)，∵C点在双曲线y=8/x上，∴t(t+2)=8，解得t=2或一4.
(2)如图<3>，作DE⊥y轴交y轴于点E，
将yA=m代入y=8/x，得xA=8/m，∴A点坐标为(8/m，m)，∴AO²=OB²+AB²=8²/m²十m²，将yD=n代入y=一8/x，得xD=一8/n，∴D点坐标为(一8/n，n)，∴DO²=DE²+OE²=(一8/n)²+n²，∴8²/m²+m²=(一8/n)²十n²，化简得，(64一m²n²)(n²一m²)=0，①当n²一m²=0时n²=m²，∵m<0，n>0，∴m+n=0，②当64一m²n²=0时，m²n²=64，∵m<0，n>0，∴mn=一8.综上可得m+n=0，mn=一8.
题型二.反比例函数与四边形的综合
(一)反比例函数与平行四边形的综合
4.如图，过反比例函数y=6/x(x>0)的图象上一点A作x轴的平行线，交双曲线y=一3/x(x<0)于点B，过B作BC∥OA交双曲线y=一3/x(x<0)于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E，若OC=3，求OE的长.
【分析】要求OE的长，须求E点坐标，须求直线AD的解析式，需求A，D两点坐标，由于AB∥x轴，BC∥OA，∴四边形ABCO为平行四边形，AB=OC=3，设A点坐标为(a，6/a)，则B点坐标为(a一3，6/a)，又B点在y=一3/x(x<0)的图象上，∴可得(a一3)×6/a=一3，解得a=2，∴A(2，3)，
B(一1，3)，D点坐标用y=一3/x(x<0)与直线BC解析式联立可得，由于C点坐标为(一3，0)，∴可求直线BC的解析式为y=3x/2十9/2，联立y=一3/x(x<0)得D点坐标为(一2，3/2)，再由A，D两点求得直线AD的解析式为y=3x/8+9/4，令y=0，可得y=9/4，即OE长为9/4.
(二)反比例函数与矩形的综合
5.如图，矩形OABC的顶点，AC的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y=k/x(x>0)的图象过对角线的交点P，且与AB，BC，分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，求△ODE的面积
【分析】由矩形OABC及A(4，0)和C(0，2)可得P点坐标为(2，1)，代入y=K/x(x>0)可得K=2，则反比例函数的解析式为y=2/x(x>0)，∵D点横坐标为4，∴AD=1/2，∴BD=2一1/2=3/2，∵E点纵坐标为2，∴CE=1，则BE=3，∴S△ODE=S矩形OABC一S△OCE一S△OAD一S△BED=4×2一1一9/4一1=15/4.
(三)反比例函数与菱形的综合
6.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=K/x(K>0，x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3).
(1)求K的值;
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=K/x(K>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.
【分析】(1)如图，延长AD交x轴于F，由于菱形ABCD的顶点C与原点O重合，AD∥BO，则AD⊥x轴于F，∵D点坐标为(4，3)，∴OF=4，DF=3，OD=5=AD，∴A点坐标为(4，8)，∴K=4×8=32.
(2)如上图，将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y=32/x(x>0)的图象上的D'处，过D'作x轴的垂线，垂足为F'，∵DF=3，∴D'F‘=3，∴点D'的纵坐标为3，代入y=32/x的图象上，得x=32/3，即OF'=32/3，∴FF'=32/3一4=20/3，∴菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为20/3.
(四)反比例函数与正方形的综合
7.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数y=K/x(x>0，K≠0)的图象经过线段BC的中点D.
(1)求K的值;
(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
【分析】(1)∵正方形OABC的如OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(2，2)，∴C点坐标为(0，2)，∵D是BC的中点，∴D点坐标为(1，2)，代入y=K/x(x>0，K≠0)，得K=2，
(2)当P在直线BC的上方时，0
(四)反比例函数与圆的结合
8.如图，双曲线y≈K/x(K>0)与⊙O在第一象限内交于P，Q两点，分别过P，Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P的坐杯为(1，3)，则图中阴影部分的面积为多少？
【分析】由于圆及反比例函数y=k/x(K>0)在第一象限的图象都关于直线y=x对称，∵P点坐标为(1，3)，∴Q点坐标为(3，1)，∴S阴影=1×3+3×1一2×1×1=4.
9.如图，反比例函数y=K/x(K<0)的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随机扎针试验，求针头落在阴影区域内的概率.
【分析】由于反比例函数图象和圓都是中心对称图形，∴阴影部分的面积占⊙O面积的1/4，即针头落在阴影区域内的概率为1/4.
閱讀更多 一個數學愛好者 的文章
