解反比例函數與幾何圖形的綜合題，一般先設出幾何圖形中的未知數，然後結合函數的圖象用含未知數的代‘數式表示出幾何圖形與圖象的交點座標，再由函數解析式及幾何圖形的性質寫出含未知數及待定字母系數的方程(組)，解方程(組)即可求得所求幾何圖形中的未知數或函數解析式中待定字母的值.。簡寫為:設未知數→表示相關量→列方程(組)→解方程(組)→求相關量.
題型一.反比例函數與三角形的綜合
1.如圖，△ABC三個頂點分別為A(1，2)，B(4，2)，C(4，4)，若反比例函數y=K/x在第一象限內的圖象與△ABC有交點，求K的取值範圍.
【分析】由於△ABC是直角三角形，當反比例函數圖象經過點A(1，2)時，K最小且為2，當反比例函數圖象經過C(4，4)時，K最大且為16，∴K的取值範圍是2≤K≤16.
2.如圖，在平面直角座標系中，Rt△ACB的直角邊AC在x軸上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函數y=K/x(K>0)的圖象經過BC邊的中點D(3，1).
(1)求這個反比例函數的解析式;
(2)若△ABC與△EFG成中心對稱，且△EFG的邊FG在y軸的正半軸上，點E在這個函數的圖象上.
①求OF的長;
②連接AF，BE，求證:四邊形ABEF是正方形.
【分析】(1)因為反比例函數y=K/x(K>0)圖象過BC邊的中點D(3，1)，∴K=3，∴反比例函數的解析式為y=3/x.
(2).①∵D(3，1)是BC邊的中點，且∠ACB=90°，∴B點座標為(3，2)，由於△ABC與△EFG成中心對稱，∴△EFG≌△ABC，∴GE=AC=1，GF=Bc=2，∠EGF=∠ACB=90°，則E點橫座標為1，由於點E在反比例函數y=3/x的圖象上，當x=1時y=3，∴OF=OG一GF=3一2=1.
②如圖，
∵D(3，1)，∠ACB=90°，∴OC=3，則OA=OC一AC=3一1=2，∵FG=OA=2，OF=GE=1，∠EGF=∠FOA=90°，∴△EFG≌△FAO，∴EF=AF，∠GEF=∠OFA，∵∠EGF=90°，∴∠GFE十∠GEF=90°，∴∠GFE+∠OFA=90°，∴∠EFA=90°，當然由△FOA≌△ACB，也可證出∠FAB=90°，∴EF∥AB，∵△ABC與△EFG成中心對稱，∴AB=EF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，又∠EFA=90°，∴四邊形ABEF是矩形，又∵EF=AF，∴四邊形ABEF是正方形.
3.已知點A(a，m)在雙曲線y=8/x上且m<0，過點A作x軸的垂線，垂足為B，
(1)如圖①，當a=一2時，P(t，0)是x軸上的動點，將點B繞點P順時針旋轉90°至點C.①若t=1，直接寫出點C的座標;②若雙曲線y=8/x經過點C，求t的值.
(2)如圖.②，將圖①中的雙曲線y=8/x(x>0)沿y軸摺疊得到雙曲線y=一8/x(x<0)，將線段OA繞點O旋轉，點A剛好落在雙曲線y=一8/x(x<0)上的點D(d，n)處，求m和n的數量關係.
【分析】(1)當a=一2時，A點為(一2，m)代入y=8/x，得m=一4，∴A點座標為(一2，一4)，B點座標為(一2，0).
①當t=1時，則P點座標為(1，0)，PB=1一(一2)=3，將點B繞點P順時針旋轉90°至點C，∴xC=xP=1，PC=PB=3，∴C點座標為(1，3).
②∵B點座標為(一2，0)，P點為(t，0)，∵雙曲線y=8/x的圖象分佈在一、三象限，當點C在第三象限時，P點應在B點左側，如圖<1>，BP=一2一t，xC=xP=t，PC=PB=一2一t，∴C點座標為(t，t+2)，當點C在第一象限，P點在B點右側，如圖<2>，xC=xP=t，PC=BP=t+2，∴C點座標為(t，t+2).綜上，C點座標為(t，t+2)，∵C點在雙曲線y=8/x上，∴t(t+2)=8，解得t=2或一4.
(2)如圖<3>，作DE⊥y軸交y軸於點E，
將yA=m代入y=8/x，得xA=8/m，∴A點座標為(8/m，m)，∴AO²=OB²+AB²=8²/m²十m²，將yD=n代入y=一8/x，得xD=一8/n，∴D點座標為(一8/n，n)，∴DO²=DE²+OE²=(一8/n)²+n²，∴8²/m²+m²=(一8/n)²十n²，化簡得，(64一m²n²)(n²一m²)=0，①當n²一m²=0時n²=m²，∵m<0，n>0，∴m+n=0，②當64一m²n²=0時，m²n²=64，∵m<0，n>0，∴mn=一8.綜上可得m+n=0，mn=一8.
題型二.反比例函數與四邊形的綜合
(一)反比例函數與平行四邊形的綜合
4.如圖，過反比例函數y=6/x(x>0)的圖象上一點A作x軸的平行線，交雙曲線y=一3/x(x<0)於點B，過B作BC∥OA交雙曲線y=一3/x(x<0)於點D，交x軸於點C，連接AD交y軸於點E，若OC=3，求OE的長.
【分析】要求OE的長，須求E點座標，須求直線AD的解析式，需求A，D兩點座標，由於AB∥x軸，BC∥OA，∴四邊形ABCO為平行四邊形，AB=OC=3，設A點座標為(a，6/a)，則B點座標為(a一3，6/a)，又B點在y=一3/x(x<0)的圖象上，∴可得(a一3)×6/a=一3，解得a=2，∴A(2，3)，
B(一1，3)，D點座標用y=一3/x(x<0)與直線BC解析式聯立可得，由於C點座標為(一3，0)，∴可求直線BC的解析式為y=3x/2十9/2，聯立y=一3/x(x<0)得D點座標為(一2，3/2)，再由A，D兩點求得直線AD的解析式為y=3x/8+9/4，令y=0，可得y=9/4，即OE長為9/4.
(二)反比例函數與矩形的綜合
5.如圖，矩形OABC的頂點，AC的座標分別是(4，0)和(0，2)，反比例函數y=k/x(x>0)的圖象過對角線的交點P，且與AB，BC，分別交於D，E兩點，連接OD，OE，DE，求△ODE的面積
【分析】由矩形OABC及A(4，0)和C(0，2)可得P點座標為(2，1)，代入y=K/x(x>0)可得K=2，則反比例函數的解析式為y=2/x(x>0)，∵D點橫座標為4，∴AD=1/2，∴BD=2一1/2=3/2，∵E點縱座標為2，∴CE=1，則BE=3，∴S△ODE=S矩形OABC一S△OCE一S△OAD一S△BED=4×2一1一9/4一1=15/4.
(三)反比例函數與菱形的綜合
6.如圖，在平面直角座標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在函數y=K/x(K>0，x>0)的圖象上，點D的座標為(4，3).
(1)求K的值;
(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當菱形的頂點D落在函數y=K/x(K>0，x>0)的圖象上時，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離.
【分析】(1)如圖，延長AD交x軸於F，由於菱形ABCD的頂點C與原點O重合，AD∥BO，則AD⊥x軸於F，∵D點座標為(4，3)，∴OF=4，DF=3，OD=5=AD，∴A點座標為(4，8)，∴K=4×8=32.
(2)如上圖，將菱形ABCD沿x軸正方向平移，使得點D落在函數y=32/x(x>0)的圖象上的D'處，過D'作x軸的垂線，垂足為F'，∵DF=3，∴D'F‘=3，∴點D'的縱座標為3，代入y=32/x的圖象上，得x=32/3，即OF'=32/3，∴FF'=32/3一4=20/3，∴菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離為20/3.
(四)反比例函數與正方形的綜合
7.如圖，在平面直角座標系中，點O為座標原點，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，點B的座標為(2，2)，反比例函數y=K/x(x>0，K≠0)的圖象經過線段BC的中點D.
(1)求K的值;
(2)若點P(x，y)在該反比例函數的圖象上運動(不與點D重合)，過點P作PR⊥y軸於點R，作PQ⊥BC所在直線於點Q，記四邊形CQPR的面積為S，求S關於x的函數解析式，並寫出x的取值範圍.
【分析】(1)∵正方形OABC的如OA，OC分別在x軸，y軸上，點B的座標為(2，2)，∴C點座標為(0，2)，∵D是BC的中點，∴D點座標為(1，2)，代入y=K/x(x>0，K≠0)，得K=2，
(2)當P在直線BC的上方時，0
(四)反比例函數與圓的結合
8.如圖，雙曲線y≈K/x(K>0)與⊙O在第一象限內交於P，Q兩點，分別過P，Q兩點向x軸和y軸作垂線，已知點P的坐杯為(1，3)，則圖中陰影部分的面積為多少？
【分析】由於圓及反比例函數y=k/x(K>0)在第一象限的圖象都關於直線y=x對稱，∵P點座標為(1，3)，∴Q點座標為(3，1)，∴S陰影=1×3+3×1一2×1×1=4.
9.如圖，反比例函數y=K/x(K<0)的圖象與⊙O相交，某同學在⊙O內做隨機扎針試驗，求針頭落在陰影區域內的概率.
【分析】由於反比例函數圖象和圓都是中心對稱圖形，∴陰影部分的面積佔⊙O面積的1/4，即針頭落在陰影區域內的概率為1/4.
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