饮水先生
其实，行星的运动轨道并不是一个真正的椭圆，而是一个有敞口的近似椭圆，椭圆的长轴方向在缓慢的进动，具体你可以参考张轩中写的《相对论通俗演义》，旧版书的第2章就讲的是这个事情，标题是《一个完美的椭圆》。当然了，新版书里也写了，你可以自己去查查。这个事情的本质就是广义相对论的三大验证之一——水星近日点的进动。
完整的计算是需要用到广义相对论的，本质上就是把测地线方程朝空间上投影，你不可能得到一个封闭的椭圆轨道。因为椭圆轨道是对称的，需要一个与距离的平方反比的中心力场才可以实现。但是，在广义相对论中，引力场不是平方反比的，它还有一些高阶修正，也就是立方反比或者四次方反比的项。所以，在这个时候行星的椭圆轨道是不能实现的。
如果要知道为什么在牛顿引力中存在椭圆轨道，你可以先去了解一下什么叫做拉普拉斯——龙格——楞次矢量。本质上是这个矢量保证了椭圆轨道的封闭性。但是，在广义相对论中，这个对称性被破坏了。
潇轩
从经典力学解释行星轨道比较容易，基本的思路是，行星本身运动的惯性力与恒星的引力的平衡作用，造就了行星运动的轨迹。行星在远离恒星时，速度越来越小，达到最远点离开恒星的速度分量为零，惯性力达到最小值，在引力的作用下，行星转过头加速运动，在轨道最近点，速度达到最大，惯性力也最大，运动又趋向于远离恒星。形成椭圆轨道。如果惯性力速度矢量和引力始终是平衡关系，那么行星的轨道就是一个圆。
引力可以引起空间扭曲。惯性力也可以引起空间扭曲。两种扭曲的空间形成一系列椭圆形的空间平衡点，行星在这些平衡点中运动。
非专业人士，一点见识
黄骠马主人
上面两个帖子的回答都不正确。要回答这个问题从简单的情形入手。
以地球与月亮为例，恒星系统可以照此类推。
月亮是怎样绕地球运动的？实际上是相互绕行。即然是相互绕行，则月亮绕地球的轨道就是椭圆形的。为什么是椭圆形的呢？因为月球与地球相互影响，这使得月亮的绕地轨道是椭圆形的。如果月球很小，如我们发射卫星般大小，则月球的绕行轨道可能是圆形，但也未必，这还与地球的对称性有关，假如地球是方形的，则月亮的运行轨道该怎样还要另说。以此类推到恒星系就明白为什么行星的运行轨道是轨道是椭圆形的了。再者行星之间还有相互的扰动。这也是行星轨道呈椭圆形的原因之一。而且由于行星之间的距离不确定。这又使得行星绕行椭圆形轨道是不封闭的。
明学23
首先行星绕恒星运动的轨道是个近圆形的椭圆形，恒星也不是在这个圆形的中心！而是位于这个椭圆的一个焦点之上。重力可以使时空弯曲，但是这种曲率一般来说并不大，在我们的宇宙中，除了理论上的黑洞有这么大的曲率外，还没有发现有这么大的重力场！如果有如此大的重力场，可以使时空的曲力如此大，那它也不会有伴星存在！
