下文節選自《簡單微積分》, 已獲人郵圖靈授權許可, [遇見數學] 特此表示感謝!
微積分的真身 - 微分的可能性
對於高中或者大學教材中的一些內容，一些學習者會產生這樣的疑問：“這種理所當然的事情，為何還有學習的必要？”
這類內容其實比較難理解其意義，“可微性”就是其中一例。可微性在高中顯露頭角，到大學則會頻繁出現。例如下面這個，
在原點不可微分。
圖124 不可微函數的例子
或許有些讀者並不瞭解，曲線順滑（可以微分的）函數，它的極限也不一定可以微分。
這是比較專業的內容了，在這裡簡單地解釋下。
圖 125 表示的是“把順滑的波按照一定規則，分別以 2 個（ n = 2 ）、3 個（ n = 3 ）、4 個（ n = 4 ）的形式合併出的圖像”。右下方的函數是無限合併的波，叫作魏爾斯特拉斯函數。
合併的波在有限數量範圍內是順滑的，但是無限合併順滑的波形成的魏爾斯特拉斯函數卻在所有的點上都無法微分。
圖125 直到形成魏爾斯特拉斯函數
因為存在這種例子，所以數學家每次說“可不可以微分” 時，都會讓人神經敏感。比如說不可微函數，一般也很難計算其最大值。
這是因為，如果不可微分，就無法使用 微分 = 0
這個方程式，即任何位置都不可微的函數的圖像都無限複雜。
即使從局部來看，不可微函數的圖像也並不單純，這一點和可微函數存在本質上的不同。
可能有人會認為，這種病態函數難道不是罕見的例子嗎？但是，事實並非如此。像海岸線那種鋸齒狀且無法微分的例子，真是一點兒也不罕見。
分享到:
閱讀更多 遇見數學 的文章
