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微積分基本定理公式：

微積分的誕生，是全部數學史上的一個偉大的創舉。追溯一下歷史就可發現，早在微積分誕生之前，就已經出現過它的萌芽。如魏晉時期劉徽的“割圓術”，阿基米德的“窮竭法”等，甚至還出現過上積分和下積分的概念。但真正形成微積分思想的是17世紀的後半葉，英國數學家、物理學家牛頓和德國數學家萊布尼茲在總結和發展了前人工作的基礎上，幾乎同時建立了微積分的方法和理論。

萊布尼茲 牛頓

微積分的起源，主要是力學與幾何兩大類問題。已知變速運動的路程為時間的函數，求瞬時速度及加速度；求曲線的切線等，這類問題的數學抽象化，即微分學。已知變速運動的速度為時間的函數，求運動物體通過的路程，求曲線圍成的面積等。這類問題的數學抽象化，即積分學。

牛頓從研究物理問題出發創立了微積分（1665-1666），牛頓稱之為“流數術理論”。他的微積分的思想最早出現在1665年5月20日的一份手稿中，這一天可作為微積分誕生的日子。而微積分的思想公開發表是在1687年牛頓的鉅著《自然哲學的數學原理》中。

萊布尼茲則從幾何角度出發獨立創立了微積分（1675-1676），萊布尼茲當時把微積分稱之為“無窮小算法”。他的微積分符號的使用最初體現在1675年的手稿中，1684年，他在《教師學報》雜誌上發表了微分法的論文《一種求極大值、極小值和切線的新方法，它也適用無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》 ，這是歷史上最早發表的關於微積分的文章。1686年，他在該雜誌上又發表了最早的積分法的論文《潛在的幾何與不可分量和無限的分析》。



在數學史上，關於微積分創立的優先權問題發生了一場激烈的爭論，英國皇家學會為此還成立了專門的評判委員會，經過長時間的調查，裁定牛頓與萊布尼茲分別獨立地創立了微積分。牛頓的“流數術”與萊布尼茲的“無窮小算法”只是名稱不同，實質是一回事。他們創立微積分的途徑和方法不同，牛頓主要是在力學研究的基礎上，運用幾何方法來研究微積分；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和麵積問題上，運用分析方法引進微積分的概念。他們各有特點，牛頓在微積分的應用方面處理得較好，主要結合運動學。萊布尼茲對錶達形式所採用的符號運用得較好。因此，人們將微積分的基本定理稱為“牛頓——萊布尼茲”公式。

歷史背景

1665年夏天，因為英國爆發鼠疫，劍橋大學暫時關閉。剛剛獲得學士學位、準備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農場住了一年多。這一年多被稱為“奇蹟年”，牛頓對三大運動定律、萬有引力定律和光學的研究都開始於這個時期。在研究這些問題過程中，他發現了他稱為“流數術”的微積分。他在1666年寫下了一篇關於流數術的短文，之後又寫了幾篇有關文章。但是這些文章當時都沒有公開發表，只是在一些英國科學家中流傳。

首次發表有關微積分研究論文的是德國哲學家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發現了微積分，但是也不急於發表，只是在手稿和通信中提及這些發現。1684年，萊布尼茨正式發表他對微分的發現。兩年後，他又發表了有關積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時，已有微積分的教科書出版。

伯努力

起初，並沒有人來爭奪微積分的發現權。1699年，移居英國的一名瑞士人一方面為了討好英國人，另一方面由於與萊布尼茨的個人恩怨，指責萊布尼茨的微積分是剽竊自牛頓的流數術，但此人並無威望，遭到萊布尼茨的駁斥後，就沒了下文。1704年，在其光學著作的附錄中，牛頓首次完整地發表了其流數術。當年出現了一篇匿名評論，反過來指責牛頓的流數術是剽竊自萊布尼茨的微積分。

於是究竟是誰首先發現了微積分，就成了一個需要解決的問題了。1711年，蘇格蘭科學家、英國王家學會會員約翰·凱爾在致王家學會書記的信中，指責萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過用不同的符號表示法改頭換面。同樣身為王家學會會員的萊布尼茨提出抗議，要求王家學會禁止凱爾的誹謗。王家學會組成一個委員會調查此事，在次年發佈的調查報告中認定牛頓首先發現了微積分，並譴責萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時牛頓是王家學會的會長，雖然在公開的場合假裝與這個事件無關，但是這篇調查報告其實是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長篇文章。

當然，爭論並未因為這個偏向性極為明顯的調查報告的出籠而平息。事實上，這場爭論一直延續到了現在。沒有人，包括萊布尼茨本人，否認牛頓首先發現了微積分。問題是，萊布尼茨是否獨立地發現了微積分？萊布尼茨是否剽竊了牛頓的發現？

1673年，在萊布尼茨創建微積分的前夕，他曾訪問倫敦。雖然他沒有見過牛頓，但是與一些英國數學家見面討論過數學問題。其中有的數學家的研究與微積分有關，甚至有可能給萊布尼茨看過牛頓的有關手稿。萊布尼茨在臨死前承認他看過牛頓的一些手稿，但是又說這些手稿對他沒有價值。

此外，萊布尼茨長期與英國王家學會書記、圖書館員通信，從中瞭解到英國數學研究的進展。1676年，萊布尼茨甚至收到過牛頓的兩封信，信中概述了牛頓對無窮級數的研究。雖然這些通信後來被牛頓的支持者用來反對萊布尼茨，但是它們並不含有創建微積分所需要的詳細信息。萊布尼茨在創建微積分的過程中究竟受到了英國數學家多大的影響，恐怕沒人能說得清。

後人在萊布尼茨的手稿中發現他曾抄錄牛頓關於流數術的論文的段落，並將其內容改用他發明的微積分符號表示。這個發現似乎對萊布尼茨不利。但是，我們無法確定的是，萊布尼茨是什麼時候抄錄的？如果是在他創建微積分之前，從某位英國數學家那裡看到牛頓的手稿時抄錄的，那當然可以做為萊布尼茨剽竊的鐵證。但是他也可能是在牛頓於1704年發表該論文時才抄錄的，此時他本人的有關論文早已發表多年了。

後人通過研究萊布尼茨的手稿還發現，萊布尼茨和牛頓是從不同的思路創建微積分的：牛頓是為解決運動問題，先有導數概念，後有積分概念；萊布尼茨則反過來，受其哲學思想的影響，先有積分概念，後有導數概念。牛頓僅僅是把微積分當作物理研究的數學工具，而萊布尼茨則意識到了微積分將會給數學帶來一場革命。這些似乎又表明萊布尼茨像他一再聲稱的那樣，是自己獨立地創建微積分的。

即使萊布尼茨不是獨立地創建微積分，他也對微積分的發展做出了重大貢獻。萊布尼茨對微積分表述得更清楚，採用的符號系統比牛頓的更直觀、合理，被普遍採納沿用至今。因此現在的教科書一般把牛頓和萊布尼茨共同列為微積分的創建者。

實際上，如果這個事件發生在當今，萊布尼茨會毫無爭議地被視為微積分的創建者，因為現在的學術界遵循的是誰先發表誰就擁有發現權的原則，反對長期對科學發現秘而不宣。

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關鍵字: 微積分 積分 力學