【題目呈現】
如下圖，拋物線y=ax²+bx過A(4，0)，B(1，3)兩點，點C、B關於拋物線對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸於點H.
(1)求拋物線的表達式;
(2)直接寫出點C的座標，並求出△ABC的面積;
(3)點P是拋物線上一動點，且位於第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的座標;
(4)若點M在直線BH上運動，點N在X軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積.
【思路分析】
(1)利用待定係數法求二次函數的表達式;
(2)根據二次函數的對稱軸X=2寫出點C的座標為(3，3)，根據面積公式求△ABC的面積;
(3)因為點P是拋物線上一動點，且位於第四象限，設出點P的座標(m，一m²+4m)，利用面積差表示△ABP的面積，列式計算求出m的值，寫出點P的座標;
(4)分別以點C、M、N為直角頂點分三類進行討論，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長，利用面積公式進行計算.
【答案與解析】
解:(1)把點A(4，0)，B(1，3)代入y=aX²+bX中，得0=10a+4b且3=a+b，∴a=一1，b=4.∴拋物線的表達式為y=一X²+4x.
(2)點C的座標為(3，3)。
又∵點B的座標為(1，3)，∴BC=2，∴S△ABC=1/2×2×3=3
(3)過P點作PD⊥BH交BH於點D，設點P(m，一㎡+4m)，根據題意，得BH=AH=3，HD=㎡一4m，PD=m一1，∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD一S△BPD，6=1/2×3×3+1/2(3+m一1)(㎡一4m)一1/2(m一1)(3十㎡一4m)，∴3㎡一15m=0，∴m1=0(捨去)，m2=5.∴點P座標為(5，一5).
(4)以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論:
①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖1，CM=MN，
②以點M為直角頂點且M在X軸下方時，如圖2，作輔助線構建如圖2所示的兩直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=NE=2，由勾股定理得:CM=√29，∴S△CMN=1/2×√29×√29=29/2;
③以點N為直角頂點且在y軸左側時，如圖3，CN=MN， ④以點N為直角頂點且N在y軸右側時，如圖4，作輔助線同理得CN=√10，∴S△CMN=1/2×√10×√10=5; ⑤以C為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形， 綜上所述，△CMN的面積為5/2或29/2或17或5. 【反思】討論直角三角形時，由三個頂點分別作直角頂點進行分類。
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