將素數分解為音樂，這就是黎曼假設的數學結論。對這個數學定理詩意化的描述就是素數本身擁有音樂，並且還是後現代的音樂。
——麥克爾·貝里,布里斯托大學
文章: plus.maths.org/content/music-primes
譯者: 向海飛 校對: 向海飛
革命性的想象
但黎曼到底是在哪裡找到這些奇怪的質數諧波來修正高斯的猜想，使之成為真的質數之音的呢？他其實在醞釀一個令人興奮的新話題，這個話題是從法國大革命中產生的：虛數的新世界。多年來，人們無法接受負數可能有平方根——畢竟負數乘以負數總是正數。但是法國大革命給了數學家們探索新世界的勇氣。他們發明了新的月份和新的日子，所以為什麼不創造新的數呢？所以出現了新的數 i —— -1的平方根。（譯者注：自此以下，作者在用詞上對虛數和複數沒有做出嚴格的區分，為保留作者原意，不宜更改其用詞，讀者應能夠自行區分）所有其他的虛數都是用這個新數字和普通數字組合得到的，例如 -3+4i。
虛數的世界
虛數的迷人之處是它們在實數軸上無處安放。數軸上包含了2，-3，或 e 的位置，但是這裡找不到虛數的位置。正是黎曼的老師高斯建議為這個新生的虛數 i 創造一個新數軸。在這幅虛數圖中，普通的數字(或數學家所稱的實數)位於橫貫東西的數軸上，而南北方向與虛數部分相對應。所以每個虛數，都變成了地圖上的一個點。比如 -3+4i，它對應向西 3 個單位向北 4 個單位的點。瞬間，一幅虛數世界的地圖出現了，虛數變得更加形象。
黎曼試圖將虛數當做函數的輸入。通常我們可以畫出一個函數的圖形，其中輸入沿水平方向變化，輸出是圖形的高度。但是虛數的函數的圖像是一幅地形圖，函數的輸出由虛數世界中各點處的高度表示。
虛數圖景(An imaginary landscape)
小編注: 上圖 x 軸為實數部分, y 軸為虛數部分, z 軸為相應 ζ 函數的值.
黎曼發現了一種非常特殊的虛數函數圖像，由zeta函數產生。他發現這個函數與質數的秘密有關。特別是，可以用地形圖上的0海拔點(水平高度恰好位於海平面的點, 即 ζ 函數的零點)來產生那些特殊諧波。這些諧波將高斯的圖形轉換成真正的質數階梯函數。黎曼用地形圖上各個0海拔點的座標來產生各次諧波。諧波的頻率取決於0海拔點的縱向距離，諧波的強度取決於0海拔點的橫向距離。
模式漸顯
黎曼的這張地圖上，0 海拔點貌似應隨機分佈。但當他標出其中一些點時，發現了明顯的規律。0 海拔點都排成一列：每個點的橫座標都相同。這意味著所有的和聲都處於完美的平衡狀態。隨著音樂的發展，每個和聲都會漸強，但沒有任何一個和聲會比另一和聲更響亮。如果平面上有的 0 海拔點偏離了這條線，那就意味著其中的一個和聲會最終淹沒其他所有和聲。這就像聽管絃樂隊的演奏，聽到大號的聲音漸漸淹沒了樂隊其他成員的聲音。
雖然看起來這條線像是穿越了地形圖，但黎曼沒能證明每個0海拔點都在這條神奇的線上（數學家們稱之為“臨界線”)，但他猜這是對的。黎曼的猜想是：證明zeta函數的每一個非平凡零點都在實部等於1/2的直線上。即使沒人為此懸賞百萬美元，數學家們也情願用靈魂去換取這個問題的答案。
從某種意義上說，黎曼的發現代表了模式搜索者對大自然給我們帶來的混亂無序的真正勝利。通過黎曼所構想出的鏡像世界，質數的隨機性轉化為這些0海拔點的秩序。許多偉大的數學家一直在努力證明黎曼的這一猜想，你可在我的《The Music of the Primes》一書中讀到他們的故事，這本書在Plus雜誌第26期中有評論文章。
如果黎曼猜想是正確的，它就能解釋為什麼質數中沒有強模式。在黎曼的臨界線以外的零點將導致質數被貼上強模式的標籤，因為這個諧波控制了其餘的諧波。黎曼猜想是說我們相信事實並非如此。和聲處在某種完美的平衡中，創造著質數大潮的無盡漲落。
高斯的猜測就像預測一個六面骰子擲了6000次，正好出現1000次質數面。黎曼的諧波的高度告訴我們，高斯的猜測離質數骰子的實際落地方式有多大的差異，即高斯的猜測和質數的實際數量之間的誤差。
那麼質數骰子有多公平？如果骰子的理論行為和N次拋擲後的實際行為之間的差異在N的平方根的範圍內，數學家們就稱它為“公平的”。黎曼諧波的高度是由相應的0海拔點的橫座標所給出的。如果橫座標是c，那麼諧波的高度就像N^c一樣增長。這意味著這個諧波對高斯猜想和質數之間的誤差的貢獻將是N^c。如果黎曼假設是正確的，且c總是1/2，誤差就會是N^1/2(這是N的平方根的另一種寫法)。如果這是真的，黎曼假設意味著大自然的質數骰子是公平的，高斯理想的質數骰子的誤差值不會超過N的平方根。
黎曼：我們仍不知道他是否正確
黎曼39歲時就給出了他的偉大猜想，不久就去世了。面對黎曼留下的爛攤子，管家銷燬了他許多未出版的手稿，直到她被哥廷根的教員攔住。是否曾有一份黎曼猜想的證明手稿，永遠消失在他那過分熱心的管家的廚爐焰火中了呢？我們永遠不得而知。
黎曼的早逝使數學界失去了一位巨人。正如世界失去了與黎曼同齡的成年舒伯特（譯註：舒伯特1797-1828，享年31歲，黎曼1826-1866，享年40歲）的音樂作品一樣，世界在等待一位繼任者去強化黎曼試圖捕捉質數音律時產生的洞察力。(完)
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