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微积分基本定理公式：

微积分的诞生，是全部数学史上的一个伟大的创举。追溯一下历史就可发现，早在微积分诞生之前，就已经出现过它的萌芽。如魏晋时期刘徽的“割圆术”，阿基米德的“穷竭法”等，甚至还出现过上积分和下积分的概念。但真正形成微积分思想的是17世纪的后半叶，英国数学家、物理学家牛顿和德国数学家莱布尼兹在总结和发展了前人工作的基础上，几乎同时建立了微积分的方法和理论。

莱布尼兹 牛顿

微积分的起源，主要是力学与几何两大类问题。已知变速运动的路程为时间的函数，求瞬时速度及加速度；求曲线的切线等，这类问题的数学抽象化，即微分学。已知变速运动的速度为时间的函数，求运动物体通过的路程，求曲线围成的面积等。这类问题的数学抽象化，即积分学。

牛顿从研究物理问题出发创立了微积分（1665-1666），牛顿称之为“流数术理论”。他的微积分的思想最早出现在1665年5月20日的一份手稿中，这一天可作为微积分诞生的日子。而微积分的思想公开发表是在1687年牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》中。

莱布尼兹则从几何角度出发独立创立了微积分（1675-1676），莱布尼兹当时把微积分称之为“无穷小算法”。他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中，1684年，他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》 ，这是历史上最早发表的关于微积分的文章。1686年，他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。



在数学史上，关于微积分创立的优先权问题发生了一场激烈的争论，英国皇家学会为此还成立了专门的评判委员会，经过长时间的调查，裁定牛顿与莱布尼兹分别独立地创立了微积分。牛顿的“流数术”与莱布尼兹的“无穷小算法”只是名称不同，实质是一回事。他们创立微积分的途径和方法不同，牛顿主要是在力学研究的基础上，运用几何方法来研究微积分；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积问题上，运用分析方法引进微积分的概念。他们各有特点，牛顿在微积分的应用方面处理得较好，主要结合运动学。莱布尼兹对表达形式所采用的符号运用得较好。因此，人们将微积分的基本定理称为“牛顿——莱布尼兹”公式。

历史背景

1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中，他发现了他称为“流数术”的微积分。他在1666年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。

首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。到1696年时，已有微积分的教科书出版。

伯努力

起初，并没有人来争夺微积分的发现权。1699年，移居英国的一名瑞士人一方面为了讨好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。1704年，在其光学著作的附录中，牛顿首次完整地发表了其流数术。当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。

于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。1711年，苏格兰科学家、英国王家学会会员约翰·凯尔在致王家学会书记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，只不过用不同的符号表示法改头换面。同样身为王家学会会员的莱布尼茨提出抗议，要求王家学会禁止凯尔的诽谤。王家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。此时牛顿是王家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。

当然，争论并未因为这个偏向性极为明显的调查报告的出笼而平息。事实上，这场争论一直延续到了现在。没有人，包括莱布尼茨本人，否认牛顿首先发现了微积分。问题是，莱布尼茨是否独立地发现了微积分？莱布尼茨是否剽窃了牛顿的发现？

1673年，在莱布尼茨创建微积分的前夕，他曾访问伦敦。虽然他没有见过牛顿，但是与一些英国数学家见面讨论过数学问题。其中有的数学家的研究与微积分有关，甚至有可能给莱布尼茨看过牛顿的有关手稿。莱布尼茨在临死前承认他看过牛顿的一些手稿，但是又说这些手稿对他没有价值。

此外，莱布尼茨长期与英国王家学会书记、图书馆员通信，从中了解到英国数学研究的进展。1676年，莱布尼茨甚至收到过牛顿的两封信，信中概述了牛顿对无穷级数的研究。虽然这些通信后来被牛顿的支持者用来反对莱布尼茨，但是它们并不含有创建微积分所需要的详细信息。莱布尼茨在创建微积分的过程中究竟受到了英国数学家多大的影响，恐怕没人能说得清。

后人在莱布尼茨的手稿中发现他曾抄录牛顿关于流数术的论文的段落，并将其内容改用他发明的微积分符号表示。这个发现似乎对莱布尼茨不利。但是，我们无法确定的是，莱布尼茨是什么时候抄录的？如果是在他创建微积分之前，从某位英国数学家那里看到牛顿的手稿时抄录的，那当然可以做为莱布尼茨剽窃的铁证。但是他也可能是在牛顿于1704年发表该论文时才抄录的，此时他本人的有关论文早已发表多年了。

后人通过研究莱布尼茨的手稿还发现，莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的：牛顿是为解决运动问题，先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分概念，后有导数概念。牛顿仅仅是把微积分当作物理研究的数学工具，而莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表明莱布尼茨像他一再声称的那样，是自己独立地创建微积分的。

即使莱布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重大贡献。莱布尼茨对微积分表述得更清楚，采用的符号系统比牛顿的更直观、合理，被普遍采纳沿用至今。因此现在的教科书一般把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。

实际上，如果这个事件发生在当今，莱布尼茨会毫无争议地被视为微积分的创建者，因为现在的学术界遵循的是谁先发表谁就拥有发现权的原则，反对长期对科学发现秘而不宣。

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關鍵字: 数学 积分 穷竭