八年级数学一次函数的应用

一次函数的图像与性质是一次函数应用学习中的重点内容，题型多样，形式灵活，综合性强，尤其是一次函数的应用题和探究性题目在考试中会经常出现，是非常重要的考点。

本节主要来介绍下一次函数的图像和性质的综合应用，如待定系数法求函数的解析式，由图象反映函数的性质，及一次函数与一元一次方程的关系，在解决实际问题中需要注意自变量的取值范围要满足实际意义，最后来通过一次函数应用的学习来拓展知识提升能力！

一、用待定系数法确定一次函数表达式

运用待定系数法求函数表达式需要注意两点：

一是所取的点必须在函数图像上，二是必须正确代入，准确计算 。

例1、 如图所示，求直线 AB 对应的函数表达式？

解：设直线 AB 对应的函数表达式是 y=kx+b(k≠0)

当 x = 0 时，y =3，代入得 b = 3；

当 x = 2 时，y = 0，则 2k+3 =0，解得 k = -3/2，

故 y = -3/2 x +3 .

二、一次函数图像的应用

1、根据函数图像可判断函数类型，不过原点为非正比例函数的一次函数；

2、从 x 轴、y 轴的实际意义去理解函数图像上点的坐标的实际意义；

3、在利用函数模型求解实际问题时，要注意自变量的取值范围。

例题2、已知一次函数 y1，y2，y3 的图像如图所示， 它们的交点的横坐标分别为 a，b，c .

自变量 x 取不同值时对应的函数值 y 的大小比较如下：

1、 当 0

2、 当 a

3、 当 b

4、 当 x>c 时，y3

5、 当x=a 时，y1=y2y2；当 x=c 时，y2=y3

例3、 温度的变化是人们经常谈论的话题，请根据下图回答下列问题：

1、这一天的最高温度是多少？是在 几时达到的？最低温度呢？

2、这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过多长时间？

3、在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？

解答过程：

1、根据图像可以看出：

这一天的最高温度是 37 ℃，是在15 点达到的；最低温度是23 ℃，是在3 点达到的；

2、温差为37-23=14℃，经过的时间为 15-3=12 小时；

3、从3 点到15 点温度在上升，在 0 点到3 点、15 点到24 点温度在下降。

三、一次函数与一元一次方程的关系

一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图像是一条直线，与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx + b = 0 的解 。

例题4、

A. x=2 B. x=0 C. x=-1 D. x=-3

解析：

方程 ax+b=0 的解，即为函数 y=ax+b 的图像与 x 轴交点的横坐标 。

因为直线 y=ax+b 过点 B（-3，0），所以方程 ax+b=0 的解是 x=-3 。

四、一次函数与实际问题

例题5、某校现有 450 本图书借给学生阅读，每人9 本，求余下 的本数 y（本）和学生人数x（人）之间的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围。

解：函数关系式为 y=450-9x，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤50 的整数。

注：在解决实际问题时，容易忽略自变量的取值必须满足实际意义，即学生人数 x 只能取非负整数，即 x 取 0，1，2，…，49，50。

例题6、已知等腰三角形的周长为 20，把底边 y 表示为腰长 x 的函数，并画出图像。

解：由题意可得 y=-2x+20（5

当 x=5 时，y=10，所以 A（5，10）；

当 x=10 时，y=0，所以 B（10，0）。

所以所求函数 y=-2x+20（5

注：本题是实际问题，x 和 y 分别表示线段的长，x 表示等腰三角形的腰长，y 表示底边长，x和 y 应该满足三角形的三边关系定理，于是得 5

五、知识拓展与能力提升

1、根据图形的面积确定一次函数表达式

例题7、如图所示，过点 A（2，0）的两条直线 l1，l2 分别交 y 轴于点 B，C，其中点 B 在原点上方，点 C 在原点下方，已知 AB= √13 。

（1）求点 B 的坐标；

（2）若 △ABC 的面积为 4，求直线 l2 的表达式。

解：

（1）因为点 A（2，0），AB= √13 ，

所以点 B 的坐标为（0，3）；

（2）因为 △ABC 的面积为 4，所以 1/2× BC × AO = 4 ，

即 1/2× BC × 2 = 4 ，所以 BC = 4 。

因为 BO=3，所以 CO = 4-3 = 1，所以 C（0，-1）。

设直线 l2 的表达式为 y=kx+b，则 2k+b=0，b=-1，

解得 k = 1/2，b=-1，

所以直线 l2 的表达式为 y = 1/2 x - 1 。

2、根据函数的图像回答问题

例题8、某公司推销一种产品，设 x（件）是推销产品的数量， y（元）是推销费，下图表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图回答下列问题：

（1）求 y1与 y2 的函数表达式；

（2）解释图中表示的两种方案是如何付给推销员推销费的？

（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

解：

（1）设 y1=k1x（k1≠0），y2 = k2x+b（k2≠0）.

因为函数 y1 的图像过点（30，600），

所以 600=30k1，解得 k1= 20.

所以函数 y1的表达式为y1=20x.

因为函数y2的图像过点（0，300） 和（30，600），

所以 b=300，30k2+b=600，解得k2=10.

所以函数 y2 的表达式为 y2 =10x+300 ；

（2）y1 是不推销产品没有推销费，每推销 10 件产品得推销费 200 元；

y2 是保底工资是 300元，每推销 10 件产品再给提成 100 元 ；

（3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于 30 件产品，就选择 y1 的付费方案；

否则选择 y2 的付费方案。

3、一次函数的实际应用

例题9、为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过 A 港口、B 港口分别运送 100 吨和50 吨生活物资。已知该物资在甲仓库存有 80 吨，乙仓库存有 70 吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如下表：

（1）设从甲仓库运送到 A 港口的物资为 x 吨，求总费用 y （元）与 x（吨）之间的函数表达式，并写出 x 的取值范围；

（2）求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案。

解：

（1）设从甲仓库运 x 吨物资往 A 港口，则从甲仓库运往 B 港口的物资有（80-x）吨，

从乙仓库运往 A 港口的物资有（100-x）吨，

运往 B 港口的物资有 50-（80-x）=（x-30）吨 。

所以 y =14x+20（100-x）+10（80-x）+8（x-30）=-8x+2 560，

x 的取值范围为 30≤x≤80 。

（2）由（1）得，y=-8x+2 560，y 随 x 的增大而减小，

所以当 x=80 时总运费最低，

当 x=80 时，y=-8×80+2 560=1 920，

所以最低费用为1 920元。

此时方案为：把甲仓库的物资全部运往A港口，再从乙仓库往A港口运20吨物资，乙仓库余下的物资全部运往 B 港口。

六、学习建议与方法突破

1、要正确理解并掌握一次函数的概念、图像和性质；

2、学会运用数形结合的思想解与一次函数图像有关的问题；

3、掌握用待定系数法求一次函数解析式；

4、多做一些与一次函数有关的综合性的题目，提高分析解决问题的能力。

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關鍵字: 数学 八年级 应用题