一、什麼是黃金分割
為什麼女孩子喜歡穿高跟鞋？為什麼有的人拍的照片令人賞心悅目？為什麼書的尺寸不是隨意的？這些都與美有關。如果用數學語言來解釋，它們都與“黃金分割”這一數學原理有關。華東師大版初中數學教材在九年級上冊第56頁通過一個“閱讀材料”給出了黃金分割這一知識點。黃金分割集數學的科學性、人文性和應用性於一體，是培養學生數學核心素養的極佳素材。
一
什麼是黃金分割
歐幾里得《幾何原本》在第六卷給出瞭如下的定義3：
分一線段為二線段，當整體線段比大線段等於大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比。
中外比就是我們通常所稱的黃金分割。如圖1，如果 AB∶AP＝AP∶PB，則稱點P是線段AB的黃金分割點。
圖1
二
黃金分割與斐波那契數列
如下數列｛Fn｝：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中，從第三項起，每一項均等於前面兩項之和。
這個數列是由生於意大利比薩的萊昂納多·斐波那契首先加以研究的，稱為斐波那契數列。
可以得出
式（3）可以利用圖2即刻得出。
圖2
三
黃金分割與賈憲三角
賈憲三角中藏著斐波那契數列。把賈憲三角左對齊，按如圖3所示的斜線求和，就可得到斐波那契數列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34…
圖3
圖4
如圖5，把賈憲三角中的奇數和偶數用不同的顏色區分開來，得到的正好是形如圖6所示的分形（謝爾賓斯基三角形）。
圖5
圖6
四
黃金分割與黃金矩形
可知：分別以斐波那契數列的相鄰兩項為長和寬的矩形可以分成一些正方形。由此我們給出如下定義：如果一個矩形的長、寬之比等於φ，則稱該矩形為黃金矩形。
如圖7上，不妨設黃金矩形的長為φ，寬為1。如果我們從中減去一個正方形，那麼餘下的矩形還是一個黃金矩形。
如圖7下，將黃金矩形中各正方形的會合點用一條曲線連接起來，得到一條優美的曲線，它接近於“對數螺線”。
圖7
圖8所示的矩形雖然不是黃金矩形，但也具有一種令人滿意的對稱性，這也可能是用它來度量紙張大小的原因吧。
圖8
五
黃金分割與海螺線
我們已經知道，在嵌套的黃金矩形中依次連接各正方形的會合點就得到一條螺線。如圖9所示，顧名思義，螺線就是一種貌似螺殼的曲線。
圖9
17世紀解析幾何的創立者笛卡爾首先給出了螺線的解析式，即在極座標下：
其圖象如圖10所示。
圖10
雅谷·伯努利對螺線進行了深刻研究，死後遵照其遺囑在他的墓碑上刻有一條對數螺線，旁邊還寫道：“雖然改變了，我還是和原來一樣！”（如圖11）
圖11
如圖12，向日葵籽在花盤上是按螺線方式排列的。
圖12
螺線也被廣泛用於生活的各個領域，如螺釘上面的鏜線就是一條條的螺線。我們描述事物的發展規律也常常說“螺線式”上升。
六
黃金分割與“優選法”
華羅庚先生大力提倡的“優選法”也常被稱為0.618法：用優選法在一個區間中所選的兩個點，就是此區間上的左、右黃金分割點。即優選法的理論基礎是黃金分割。
有人提出過一個“小康型購物公式”：
小康型消費價格=0.618×（高檔消費價格－低檔消費價格）+低檔消費價格。
它的圖示如圖13所示。
圖13
也就是說：你在選購商品時，根據自己的財力狀況，若認為高檔價格過於昂貴，而低檔價格的商品款式、性能等又不盡如人意，那麼你可以選購價格為上面公式所給的檔次的商品——它的價格中等偏上，堪稱“小康”水準。
七
美是算出來的
1.黃金分割與維拉斯雕像（如圖14）。
圖14
2.黃金分割與《蒙娜麗莎的微笑》（如圖15）。
圖15
3.黃金分割與“蘋果”手機的Logo（如圖16）。
圖16
4.黃金分割與攝影
如圖17～18所示，攝影構圖時常常使用九宮格構圖法，即讓需要表現的主體位於黃金分割點。
圖17
圖18
八
大自然是按數學規律設計的
如圖19所示，我們可以從花的瓣數中，找到斐波那契數列：花瓣數通常是3，5，8，13，…
圖19
如圖20，觀察植物的葉片並填寫下表：
我們在表格中，看到的這一列數字就是我們說的斐波那契數字，植物的葉子這樣排列，可以讓每片葉子獲得很好的陽光份額，並捕獲最多的雨水，以便沿著樹葉流向樹幹。
圖20
不少植物葉狀雖然不同，但其排列卻有相似之處，比如相鄰兩張葉片在與莖垂直的平面上的投影夾角是137°28′（如圖21），這個角度正是把圓周分為1：0.618…的兩條半徑的夾角。科學家經計算表明：這個角度對植物葉子通風、採光來講，都是最佳的。
圖21
九
黃金分割的教學建議
黃金分割儘管在教材中是一個閱讀材料，但應充分利用這一知識點引導學生樹立正確的數學觀，感受數學的價值，並在學習過程中得到數學美的薰陶。
1.把黃金分割作為溝通數學知識的紐帶
黃金分割這一知識點與比例、一元二次方程、連分數、數列、極限、黃金矩形、螺線等數學知識都建立了聯繫。教學中，應充分利用黃金分割這一紐帶，強化這些數學知識之間的聯繫，從而讓學生感受到數學的整體性。
2.把黃金分割作為溝通人自身、社會、自然之間關係的紐帶
黃金分割溝通了人自身（對美的追求）、社會（美是算出來的）、自然（大自然是按數學規律設計的）之間的聯繫。教學中，應讓充分利用黃金分割這一載體，讓學生感受數學的價值，從而樹立正確的數學觀。
3.黃金分割評價舉例
對黃金分割的評價，應把重點放在讓學生感受數學的科學價值、文化價值和應用價值。例如可命制如下問題：
【2010年佛山市中考題】一般認為，如果一個人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個人好看。如圖22，是一個參加空姐選拔的選手的身高情況，那麼她應穿多高的鞋子才能好看？（精確到1cm）
圖22
參考文獻
[1] 李大潛. 黃金分割漫話[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
[2] 吳振奎，吳旻. 數學中的美[M]. 上海教育出版社，2004.
[3] [英]Tony Crill. 影響數學發展的20個大問題[M]. 北京：人民郵電出版社，2012.
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