沈岳夫(浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学)
摘要：对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事.通过研究把蕴涵在其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出隐含的问题的本质属性，不但可以提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的思维技能，还可以优化学生的数学思维品质。笔者通过对一道中考填空题的方法探究，总结出七类常见方法，并且对各种方法进行梳理、比较，目的是能将疑难问题简单化，复杂问题简洁化，陌生问题熟悉化．
关键词：中考试题；一题多解；思维突破
对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事，通过研究把蕴涵在其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出隐含的问题的本质属性．不但可以提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的思维技能，优化数学的思维品质，还可以培养学生探索创新的能力．现以2014年重庆市的一道中考填空题为例，对其方法进行探究，愿与大家共同分享．
一、试题呈现
题目：如图1，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF，则OF的长为_____．
【说明】方法1，方法2是借助图2的模型构造出三角形全等，其实质就是通过公共端点O，构造出两个“共点等腰直角三角形”（指在同一个平面几何图形中具有一个公共顶点的两个不同的等腰直角三角形）的基本图形．也就是说，当题目或结论中出现等边三角形、等腰直角三角形（或正方形）的条件时，可将图形绕一个端点作旋转
的全等变换，构造出全等三角形，从而将条件和结论结合在一起．这种解题思路是几何证明中的一种常用方法，应当予以重视．
2.从构造以“OF为斜边”的直角三角形入手
【说明】此方法的思路来源于图7的模型，通过添加辅助线，得到两个基本图形，即“8字型”和“A字型”相似．因此，对于求线段的值（或比值）问题，当条件过于分散，不好直接利用时，可以根据题中所涉及的图形的性质（如垂直或平行），设法对其进行适当的添线，把题中某些关系通过相似进行转化，这样就可以解决问题了．
面积这一工具，也是一种有效解决问题的方法．
5.从“四点共圆”的角度入手
思路5：想到“四点共圆”——运用“四点共圆”，巧构等腰三角形，运用相似解决问题．
（方法6）如图9，过点B作BH⊥FO，交FO的延长线于点H，
因为∠BOC=∠BFC=90°，
相应的代数问题，然后用代数知识进行演算、论证，最后把所得的结果翻译成几何图形的性质，以达到证明几何问题的目的．方法7主要是根据条件中有些特殊的点（如中点）或特殊的图形时（如圆），通过建立适当的直接坐标系，可以将某些几何求值问题、证明问题全部转化或部分转化为代数问题加以解决（有时较之其他的方法更为简洁）．
7.从运用托勒密定理入手
思路7：巧用定理——运用托勒密（Ptolemy)定理求线段长度．
（方法8）因为∠BOC=∠BFC=90°，
所以B，O，F，C四点共圆（如图11）．
由托勒密（Ptolemy)定理知．
【说明】此方法是通过托勒密（Ptolemy)定理的中介作用，揭示了命题中条件与隐含条件、结论的内在联系，为寻求解题途径指明了方向，使问题的方法简单流畅、别具一格，达到了化繁为简、化难为易的目的，而且还可以开拓学生的思路、提高解题能力，对学生的学习兴趣培养也大有裨益．
前面梳理了八种解题方法，实际上此题的解题方法还不只这些．当学生对某些知识点、某些基本图形理解的较为深入时，首先就会考虑到较简洁的方法．例如，当对全等三角形知识理解较为深入时，会想到以OF为边构造全等三角形，这样就会选取方法1，方法2；对相似三角形的理解较为深入时，就会选取方法3，方法4等；若对面积问题较为灵活运用时，就会选择方法5；若想到数形结合思想，运用坐标法，就会选取方法7；若能用课外的知识来解决问题，可以选取方法6，方法8．
可见，在平时的教学中，教师若能选取类似本文提到的这样的试题，留给学生足够的时间思考，提供学生展示自己想法的机会，并组织学生对不同思路进行适当的比较和讨论，学生就能自然地把题目涉及到的基本图形的基本性质等相关知识加以联系，构建成一个整体，达到灵活应用数学知识的程度．这样做，会比机械地重复大量的训练题目的效果要好得多．进行类似于此题的一题多解的教学，不仅有利于学生掌握基础知识，提高解题能力，而且也有利于开阔学生的视野，有效地培养学生思维的广阔性和灵活性，提高学生的综合应用水平．
参考文献：
[1]顾洪敏，刘金英．一道中考试题赏析[J]．中国数学教育（初中版），2011（11）：34-36.
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[3]蔡卫兵．注重过程 凸显反思 提升实效：问题教学尝试与反思[J]．中国数学教育（初中版），2014（7/8）：42-46，53.
[4]沈岳夫．善归类 细分析 悟通法 促提高：对一类“共顶点等腰直角三角形”型试题探微 [J]．中国数学教育（初中版），2014（12）：43-47，64.
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