陳德前（江蘇省興化市教育局教研室）
摘要: 對江蘇省泰州市的一道中考試題進行了深入的剖析.從它的來源、特色、考查的重點，及解法進行了詳細的解讀，並由此引導教師加強對課標的學習和研究，在此基礎上給出幾點教學建議，重點突出，有理有據，希望能給教師以啟迪。
關鍵詞：泰州中考；試題賞析；結果分析;教學啟示
新課程改革實施以後，初中數學中對圓的有關知識的教學要求大大降低了，中考命題如何圍繞這一知識板塊，設計出既符合課標和教材對核心知識的教學要求，又有利於有效評價和引領教學的試題，一直是命題者們在不斷思考的課題.2014年江蘇省泰州市中考數學試題的第25題在這方面做了很有益的嘗試，形成了許多特色，試題引起的反響也給我們留下了許多有益的思考.
命題者首先巧妙地將教材習題第（2）小題中90°的圓心角與教材習題第（1）小題中平面直角座標系整合，把圓周優弧上的任意一點演變為直線與圓的交點，設計出了題目的第（1）小題第①問；再將平面直角座標系中直線與圓相交截得的弦長與教材習題第（3）小題求圓中的弦長結合，考慮到含有參數字母b，設計為求弦長的平方，並考慮b的取值範圍，即得到了題目的第（1）小題第②問；最後再與教材習題第（4）小題綜合，利用參數b的取值範圍隱含了直線與圓的兩種位置關係——相切和相離，進而直線上的點P可在圓上，也可在圓外，將問題設計成存在性探索題，得到了題目的第（2）小題.由上可見，這道中考題題在書外，根在書內，充分發揮了教材的功能，體現了公平、公正的命題原則. 此題的命制打破了題海戰術，為中考試題迴歸教材，取之教材，整合、改編習題敞開了一扇窗，為教師如何參與研發教材、拓展教材，研究教材知識的生長點、綜合點與延伸點，樹立了一個很好的風向標，值得我們去認真學習，仔細體會.
2.考查——凸顯核心，交匯之處做文章
根據中考命題的新要求，中考數學綜合題的命題必須突出數學的本質，緊扣核心知識，在核心知識的交匯處設計試題. 應該說，此題考查的內容都是初中數學中的一些核心內容.從知識層面看，主要考查了平面直角座標系，一次函數的圖象與性質，垂徑定理，勾股定
理，圓心角、圓周角、圓外角及其之間的關係，三角形的面積公式，相似三角形的判定與性質，直線與圓的位置關係等知識，這些知識都是初中數學的核心知識.從方法層面看，此題核心的解題方法是在直角座標系下，利用上述基礎知識，藉助於轉化思想、數形結合思想、模型思想、分類思想、方程思想、面積法等數學思想方法來解決有關問題.從經驗層面看，解決此題需要學生具有一定的基本活動經驗.從直角座標系到90°的圓心角.由FG2聯想到勾股定理，進而聯想到垂徑定理的基本模型.觀察一次函數的比例係數後，憑數感巧用勾股數組. 從第（1）小題第①問圓周角的計算到第（2）小題直線上滿足∠EPC=45°的點P存在性的探索. 從第（1）小題第②問弦長的計算到第（2）小題直線上滿足∠EPC=45°的點P座標的確定. 在b≥5的條件下不僅要判斷出何時點P存在，並求出點P的座標，而且要判斷出何時點P不存在，並說明理由（這一點是學生最容易疏忽的）.可見，試題在對基本活動經驗的考查方面做了精心的思考、巧妙的安排，從簡單到複雜，從具體到開放設計了相互關聯的問題，層次非常分明，難度逐級遞進，引領學生不斷運用自己積累的基本活動經驗來進行深入思考. 應該說題目對基本活動經驗的考查到位、適度，能映射出學生思維的連貫性、遞進性、深刻性. 因此，在平時的教學中，要注重學生基本活動經驗的積累，讓學生經歷知識的發現與提出過程，發生與發展過程，探索與應用過程，方法與規律的概括過程，引導學生進行反思與評價，使學生在一點一滴活動經驗積累的基礎上，完成對知識的建構，實現對基礎知識、基本技能和基本方法的內化，有效提升學生的學習能力.從題型構思看，此題的題型比較豐富，有計算題，有推理題，還有探索存在性問題，各小題之間的梯度明顯，既充分發揮了各種題型的優勢功能，又提高了試題的區分度，有利於高一級學校的選拔.
3.思路——方法多元，各顯神通考能力
此題核心的解題方法是在直角座標系下，利用常用的數學思想方法來尋找思路，在這個核心方法下，儘管解決三道小題的策略是一脈相通的，但解題的思路卻是多元的. 對於第（1）小題第①問，可以直接應用圓心角與圓周角的關係得到答案. 也可以連接CD，利用△OCD是等腰直角三角形和圓周角定理的推論得到答案. 還可以由EC弧的度數過渡得到答案，等等. 對於第（1）小題第②問，首先由FG2想到勾股定理，進而聯想到垂徑定理的基本模型，
方法是數學基礎知識的重要組成部分，是數學的精髓，是解決數學問題的金鑰匙，是學生形成良好認知結構的紐帶，是學生知識轉化為能力的橋樑，是培養學生良好的數學觀念和創新思維的載體．《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）把基本思想方法作為“四基”之一，突出基本思想方法的意義是希望學生在學習和領會後能受益終身.所以，數學思想方法的教學理所當然地應該是數學教學的核心，數學思想方法的考查理所當然地應該成為中考的“重頭戲”，我們可以從上述試題的多種解法中清楚地看到這一點. 因此，數學思想方法應滲透在數學教學的整個過程之中，教師在教學中要重視對常用數學思想方法的滲透、總結與提煉，要結合典型問題的研討，多給學生獨立思考、自主探索的時間與空間，抓住一題多解、多題一解、一題多變，引導學生不僅要學會知識的應用，更要領悟知識應用中的數學思想方法，使其內化為自己的經驗，形成應用數學思想方法解決問題的自覺意識，不斷提高學生用思想方法進行數學思考的水平.
三、問道課標，明確方向
如前所述，此題考查的知識都是初中數學中的核心知識，理應是我們教學中的重中之
重，這樣的試題測試的結果應該不會太差. 然而，從中考閱卷的結果來看，此題12分，平均得分含0分為2.86分，得分率為23.8％；不含0分為3.78分，得分率為31.5％.得分率之低，大大出乎了命題者的意料，比壓軸題（第26題）得分率還低得多.考試後，這道試題引起了強烈的反響.學生普遍認為試題難度太大，對於這種直角座標系與圓綜合的題目不適應，；不少教師認為，《標準（2011年版）》實施以後，初中數學教學中對圓的有關知識的要求大大降低，因此，他們在教學圓的有關核心知識時，把《標準（2011年版）》規定的教學要求降低了，提升能力的探索活動弱化了，訓練思維的邏輯推理減少了，培養素養的綜合應用不見了.這樣，出現上述情況也就不足為奇了.那麼，《標準（2011年版）》對圓的教學要求到底有哪些？這道試題超過了《標準（2011年版）》的要求嗎？我們今後如何把握圓的教學尺度？
帶著這些問題，筆者重新認真學習了《標準（2011年版）》對圓中上述核心知識的教學要求，從中得到了答案.《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》對圓中上述核心知識的教學要求是：（1）探索圓的性質，瞭解圓周角與圓心角的關係、直徑所對的圓周角的特徵；（2）探索並瞭解直線與圓的位置關係.《標準（2011年版）》對圓中上述核心知識的教學要求更為明確：（1）探索並證明垂徑定理；（2）探索圓周角與圓心角及其所對弧的關係，瞭解並證明圓周角定理及其推論；（3）瞭解直線與圓的位置關係.可見，修訂前後的兩個課程標準對圓中上述核心知識的教學要求都用了“探索”這個詞，何謂“探索”？《標準（2011年版）》在附錄1中明確指出，探索：獨立或與他人合作參與特定的數學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發現對象的特徵及其與相關對象的區別和聯繫，獲得一定的理性認識. 由此可見，儘管《標準（2011年版）》減少了圓中的有關知識點的數量，降低了一些知識點的要求，但無論是哪一種版本的課程標準，對圓中上述核心知識的教學要求都是一致的，沒有降低，而且都是較高層次的要求，而上述試題並沒有超出兩個版本課程標準對圓中上述核心知識的教學要求，出現測試結果的得分率低、學生反映難度大、教師認為超課標等現象，都是因為教師對課程標準學習不夠，對相關內容的教學要求把握不準，教學工作中出現偏差而造成的，必須引起教師的反思. 因此，教師在教學中要認真研讀《標準（2011年版）》，準確把握課程標準對圓中各個知識點的基本教學要求，突出對圓中核心知識（如圓、弧、直線和圓相切、圓周角、直角三角形和勾股定理等）的教學，該做的探索活動不能弱化（如垂徑定理的探索，圓周角定理的探索，直線與圓的位置關係的探索等），必要的推理訓練必須加強（如用垂徑定理、圓周角定理及其推論、切線的性質與判定等進行推理），適當的綜合應用理應強化（如圓與代數式、函數、方程、不等式、三角形、四邊形等知識的綜合）.必須指出：《標準（2011年版）》對圓中有關核心知識提出了證明的教學要求，這就意味著今後圓中出現證明題將成為常態，我們要克服過去那種圓中只考計算，不考證明的思維定勢，結合圓中有關知識的教學，不失時機地對學生進行推理訓練，真正發揮圓的有關知識在培養學生合情推理與演繹推理中的作用，使學生的兩種推理能力同步得到發展.
中考試題都是經過命題專家在課程標準、教材的指引下精心設計的，只要深入其中去思考、去體會、去研究，才會發現其引導功能和教學價值，進而加深對課程標準和教材的理解，使教師的教學工作遊刃有餘.
參考文獻
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