牟合方蓋是由我國古代數學家劉徽首先發現並採用的一種用於計算球體體積的方法。由於其採用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋（古時人們稱傘為“蓋”，“牟”同侔，意即相合）。
牟合方蓋
其實我國很早就有人開始了球體體積的研究，《九章算術》的“少廣”章的廿三及廿四兩問中有所謂的開立圓術，“置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑。”設d表示球的直徑，V球表示球的體積，則有V=9d^3/16。
劉徽為《九章算術》作注時對這個公式提出了質疑說：“以周三徑一為圓率，則圓冪傷少；令圓囷為方率，則丸積傷多。互相通補，是以九與十六之率，偶與實相近，而丸猶傷多耳。”
他用每邊為1寸的正方體棋子八枚，拼成一個邊長為2寸的正方體，在正方體內畫內切圓柱體，再在橫向畫一個同樣的內切圓柱體。這樣兩個圓柱所包含的立體共同部分像兩把上下對稱的傘，劉徽將其取名為“牟合方蓋”。
根據計算得出球體積是牟合方蓋體積的四分之三，可是圓柱體又比牟合方蓋大，但是《九章算術》中得出球的體積是圓柱體體積的四分之三，顯然《九章算術》中的球體積計算公式是錯誤的。
劉徽證實了《九章算術》中的公式錯誤，並且他知道“牟合方蓋”的體積跟內接球體體積的比為4:π，只要有方法找出“牟合方蓋”的體積便可。
劉徽畫像
可惜，劉徽始終不能解決這個問題，他提出的解決方法是計算出“外棋”的體積，但由於“外棋”的形狀複雜，始終沒有成功。
無奈只好留待有能之士圖謀解決的方法：“觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。”
直至二百多年後，袓衝之和他的兒子祖𣈶承襲了劉徽的想法，利用“牟合方蓋”徹底地解決了球體體積公式的問題。他們的方法是將原來的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一來研究。
祖沖之畫像
他們先考慮一個由八個邊長為r的正立方體組成的大正立方體（如圖1），然後用製作“牟合方蓋”的方法把這個大正立方體分割，再取其中一個小正立方體部分作分割，分割的結果如圖2，它的體積為“牟合方蓋”的八分之一，而其餘部分便是三個“外棋”。
接下來，祖沖之父子考慮這個小立方體的橫切面。設由小立方體的底至橫切面高度為h，三個“外棋”的橫切面面積的總和為S，小牟合方蓋的橫切面邊長為a，根據“勾股定理”有a²=r²-h²。
另外，因為S=r²-a²所以S=r²-(r²-h²)=h²，因此，對於所有的h來說，這個結果也是不變的。
祖氏父子便由此出發，他們取一個底方每邊之長和高都等於r的方錐，倒立過來，與三個“外棋”的體積的和進行比較。設由方錐頂點至方錐截面的高度為h，不難發現對於任何的h，方錐截面面積也必為h²。
換句話說，雖然方錐跟三個“外棋”的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積也是相等的，所以祖氏雲：“緣冪勢既同，則積不容異。”
所以，外棋體積之和=方錐體積=小立方體體積/3=r³/3，即：
- 小牟合方蓋體積=2r³/3
- 牟合方蓋體積=16r³/3
因此，球體體積=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3。這個公式也就是正式的球體體積公式。
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