市場可以被擊敗麼？
有效市場假說假設市場既充分反映了所有已知的信息，又立即反映了所有新的信息。根據有效市場假說的理論支持，除非你足夠幸運，否則跑贏市場是不可能的。
普林斯頓-紐波特合夥公司的累積交易結果是227個月的贏利以及僅3個月的百分之一以下的損失，這意味著非常特別的98.7%的贏率。如果市場是有效的，在計算這個結果的概率時我們做了簡化的假設，平均的損失和贏利是相等的。
在假設平均贏利和損失大致相等的前提下，任何一位獨立的交易員在230個月的交易中實現227個月以上的贏利的概率，等同於擲230次硬幣其中有227次以上頭像向上的概率，這個概率約近似於無窮小（1063 分之一）。
即使我們故意誇大地假設有10億個交易員，至少能有一個交易員的交易記錄與索普的記錄相當或者比他更好的概率仍低1062 分之一。用概率來說明，在地球上隨機選擇到一個特定原子可能需要一萬億次以上。
看待這些結果有兩種方式：
1. 夥計，索普真是讓人難以置信得幸運！
2. 有效市場假設是錯誤的。
諸如像索普的追蹤記錄確實證明了跑贏市場是可能的，而一大群否定這個說法的經濟學家選擇相信理論勝於事實。 討論的焦點是跑贏市場是可能的，但並沒有談到關於這個任務的難度。事實上，是跑贏市場（絕大多數市場參與者都失敗了）的困難促成了市場有效的產生。
索普的職業生涯包含了相當數量的第一次實現：
他與克勞德·香農共同開發了可用於在輪盤賭中賺錢的第一個可佩戴式電腦。
他開發了第一個對玩家有利的21點投注策略，這個策略在他全球最暢銷的書籍Beat the Dealer有所介紹。這本書也改變了賭場的運營方式。
索普與西恩·卡薩夫一起開發了一個眾所周知的系統方法，利用股票頭寸來對沖風險、交易權證和其他可轉換證券（比如期權、可轉換債券、可轉換優先股等）的系統方法。這個方法在他們已出版的書籍Beat the Dealer有詳細的描述。
他第一個構造出與布萊克-斯科爾斯模型等價的期權定價模型。實際上，索普在布萊克-斯科爾斯模型發表以前已經用這個等價公式交易了很多年權證和期權並獲得了贏利。
他是第一個市場中性策略基金的創始人。
他建立了第一個成功的量化交易對沖基金。
他是第一個實現可轉債套利策略的人。
他是第一個實現統計套利策略的人。
他可能第一個發現伯尼·麥道夫是一個騙子，他比哈里·馬科波洛斯早許多年發現了這個欺詐的確鑿證據。
索普，數學博士和準物理學博士，通過賭博但又不是傳統意義上的賭博進入了市場。通常情況下，碰運氣的賭場博彩不太可能讓玩家賺到錢，並且玩得越久，破產的可能性越大。
這類賭博的對立面才是索普感興趣的地方。事實上，由於他成長於經濟蕭條的時期，所以，索普極其厭惡風險。他的目標是使得賭博不再是賭博。他試圖設計出在賭場博彩中有利於他的策略，這被認為是不可能的策略。
令人大吃一驚的是，他成功地設計出令他在多個賭場博彩（包括輪盤賭、21點、百家樂、幸運大轉盤）中都有重大優勢的策略。諷刺的是，經驗證明在一直被認為是無敵的博彩中，設計出制勝策略比執行它更容易。在賭場中贏錢會有實際的問題出現。贏錢的玩家會被注意，而賭場無法忍受不單純是靠運氣贏錢的玩家。
索普認為，市場可能會提供實踐他研究的更好選擇。市場畢竟是最大的賽場，如果他想出可以一直贏錢的方法，沒有人可以將他踢出局。所以他將自己的研究方向轉向專注於股票市場。
這類研究使他發現權證（長期期權）的定價是錯誤的。在解決期權和權證定價問題的過程中，索普遇到了在加州大學Irvine（歐文）分校的經濟系教授西恩·卡薩夫也同樣在研究這個課題。
他們合作了一段時間，在1967年Beat the Market中共同撰寫了他們的新發現。索普繼續了這項研究，最終發出著名的布萊克-斯科爾斯期權定價模型的前身。
這個公式比在Beat the Market公開的研究要更加有效，不過索普將這個公式留給了自己並未將其公開。在成功地交易和管理了自己和許多同事的資金後，索普與一個東海岸的經紀商詹姆斯里根合夥創立了第一個量化交易對沖基金，也是第一個市場中性策略基金，普林斯頓/紐波特合夥公司。
對他的採訪就這樣開始了。
在你成長的過程中，你有想過自己人生的方向嗎？
沒有想過。我的父親非常反對做生意。我們經歷了大蕭條。他是一名保安，而他之所以會做這個工作因為那是他唯一可以找到的工作。他曾經應召入伍並加入了美國遠征軍。他身上有多處彈傷。儘管他被授予了紫心、銀星和銅星勳章，但從戰場歸來後，他非常反對戰爭。我對很多問題的態度都受到了父親的影響，包括大蕭條的痛苦和折磨以及對戰爭的厭惡，除非是所謂的必要的戰爭。
你認為大蕭條的經歷影響了你此後看待市場和風險的方式嗎？
我們對自己所擁有的財產小心謹慎，因為它來之不易。我們只有很少的錢，生活差點過不下去。總之，什麼都不能浪費，都要保存起來。我在做科學實驗時也一樣，儘可能用各種方法反覆使用舊的材料。至於風險，它使我非常仔細地考慮謀劃未來，防患於未然，確保我不會陷入困境，沒錢過活。因為我已經考慮到這個問題，因此我不會那麼擔心。我們已經習慣於手頭拮据，但通過精打細算和努力工作已經足以維持生計。
你最後開發出的策略是什麼？
當我第一次為《美國國家科學院院刊》（PNAS）寫一篇有關此策略方面的論文時，我描述了一個簡單、易懂的五策略。但是我沒有用過，也不打算用這個策略。根據五策略理論，如果所有的五都已經出現在牌桌上，你有3.3%的勝率。一個簡單的應用是用90%的時間進行基礎策略下注，當所有的“5”已經出現，用另外10%的時間下重注。從沒有人想到從21點的這個特徵來講，這是一個好的策略。所有人的都認A和10是最重要的。這個策略的問題是牌裡所有的5都出現在牌桌上的時間僅有10%。我開發出的下一個策略是有關“10”的。我的推論是既然一副牌裡有很多“10”，一個以“10”為基礎的策略將帶來更大賠率波動。
你在發表賭博題材的文章時有遇到困難嗎？
我是這麼出版的。我知道我不得不盡快出版是因為周圍一些沒有道德的人將聲稱他們發現了相同的信息。在我的職業生涯中，遇到過幾次自己寫的數學理論和公式被人剽竊的情況，而且他們聲稱這些是他們的。所以我決定儘快出版，並希望它能在一本有威信的雜誌上出版。最好的方法是在《美國國家科學院院刊》上出版，但是我不得不找到一位會員替我提交或者不會抄襲它的人。我搜索了一下我所在的劍橋區域，發現了兩名會員。一名是完全不瞭解我在說什麼的哈佛大學代數學家，可能即使他明白也不願意幫我遞交。另外一名會員是麻省理工學院的克勞德·香農。香農是數學和工程學的聯合教授，也是學院僅有的兩名特聘教授之一。我去找他的秘書預約。秘書回答說：“他可能在五分鐘後見你，但他不會跟他不感興趣的人聊很久。所以你不要對這次會面期望太多，可能非常簡短。”
你是如何從輪盤賭和21點過渡轉向尋找市場贏錢的機會呢？
知道了人們認為賭場是不可打敗的錯誤認識後，我開始停下來思索。如果你能在輪盤賭和21點中贏錢，那其他地方呢？我的下一個目標是百家樂。我可以證明不是博彩不堪一擊，邊注也是的。那時，我已經從麻省理工學院搬到了墨西哥州立大學。我和數學系主任、大學的財務主任以及我們的妻子一起去旅行，在賭場測試了一下這個百家樂系統。
我儘量不引人注目，但在百家樂牌桌的第一晚，我就被一位讀者認了出來，他說：“嘿！那就是這本書的作者。”賭場的人剛好聽到了這句話，就跑去打電話，請樓上下指示。而後他笑著回來，告訴賭檯老闆，“讓他們玩吧。這個傻瓜以為自己在21點中贏錢了，就也能在百家樂中贏錢。我們會給他一點顏色瞧瞧。”
因為我知道他們的承受程度有限，所以我設定了賭注大小，這樣一小時，我大約賺了100美元。我只是想證明我們系統的有效性。我在六小時中平均每小時賺了約100美元。賭場對此無所謂，他們認為這只是運氣而已。我們第二天晚上又來賭到賭場下班，平均每小時大約賺了100美元。這時，他們就沒那麼友好了。他們把託安排在我的兩邊監視我的一舉一動。接著，他們猜測我是不是在給牌做標記。賭桌老闆和其他一些人仔細檢查了這些牌，但是毫無所獲，因為本身就什麼都沒有。
第三天晚上，他們又開始友善，並且問我是否想要一杯咖啡，我欣然接受了。我喝了點咖啡，接著就我注意到自己不能計牌了。我感覺飄飄然的，所以我起身離開，讓同事來繼續下注。我同事的妻子是一名護士。她告訴我，我的瞳孔向癮君子一樣放大了。他們不停地讓我喝東西，陪我散步走了幾個小時，直到我恢復正常。第四天晚上我們再來時，他們再次提供咖啡給我。
你為什麼都去同一個地方呢？
因為那個鎮上只有兩個地方有百家樂。我拒絕了咖啡，只要了一杯水。
為什麼你還要喝的東西呢，直接說自己不渴不是更好嗎？
我發現他們的方法就是將藥放進水裡，這樣我就能辨識出到底是什麼。我沾了一滴水在舌頭上嚐了一下，感覺像有人將一盒小蘇打都倒了進去。這一滴就足夠讓我再一次神志不清。我離開了並告訴我的同伴，賭場的人不想讓我們再賭下去。在結束旅程前我們還有一天，所以我們去了另一家賭場。既然是最後一天，我表示，“我們可以一展拳腳，每小時用1000美元來下注。”我們賭了兩個半小時，賺了2500美元。
賭場老闆和高大魁梧的保安走了過來對我說：“我們不希望你在這裡賭博。”
我問他：“為什麼不可以？”他回答：“沒什麼理由，就是不希望你在這裡。”
我就這樣離開了。
第二天，在我們開車回家的路上，油門在走山路時踩下去，回不來，車也不停不下來。在這條蜿蜒的山路上，車加速到80英里每小時。
聽起來簡直就像一部電影。
他笑著說，確實是。我有了個念頭，儘量降低擋位，熄火，踩剎車，拉手剎。我最終讓車停了下來。我們車上放了一個求助信號，一個會修車的好心人停下來幫助了我們。他檢查了一下汽車發動機說：“我從沒看見過這樣的油門拉桿。”有什麼東西掉下來鎖住了拉桿。他可以暫時幫我們修一下車，讓我們能開到家。
我猜車上的其他人已經完全驚慌失措了吧？
實際上，我們可能已經死於車禍了。
既然他們已經禁止你進入賭場，為什麼還要對您的車做手腳呢？
我不能說車被動了手腳，我只能告訴你發生了什麼事。
我們有點偏題了。我本來是要問您如何從賭場博彩過渡到去研究市場的？
我也開發了一個在幸運大轉輪中贏錢的系統。在這些系統都成功後，我開始從整體的角度考慮。華爾街是世界上最大的博弈市場，為什麼我不去了解和研究它呢？
我一點都不瞭解市場。1964年的時候，我決定用一整個夏天來研究一下股票市場。我從《巴倫週刊》讀到了《股票市場的隨機性質》（Random Character of Stock Prices）這本書。經過整個夏天的學習，我已經知道該怎麼做以及如何分析了。
有哪些書特別有幫助嗎？
大部分的書都是否定性的幫助。比如，愛德華茲的《股市趨勢技術分析》就是非常具有否定性幫助的書。
你提到的“否定性幫助”是什麼意思？
我不相信它。這本書讓我相信技術分析是走不通的。從這種意義上來說，我省了很多時間。
但是關於圖表分析成立的一個理性解釋是圖表反映了所有基本面和市場參與者的心理。
你不能證明我的否定觀點是錯的。我也不能證明這條路一定行不通。我能說的是我們看到足夠的事實依據去支撐它。除非我認為這套理論非常好，否則我不想浪費時間去嘗試它。
所以經過一個夏天的學習研究後，你覺得哪條路值得探索呢？
第一個夏天我沒太多想法，整個學年都很忙。第二個夏天，我繼續了我在股票市場的研究。在六月的一天，陽光充足，天氣炎熱，我坐在後院的樹蔭下讀書。在第一個小時，我讀到了一篇Sydney Fried寫的期刊叫做RMH Warrants and Low Price Stock Survey。
我估計這個雜誌還在，現在是他的兒子在經營。我意識到權證的定價是可用數學公式來分析和預測。
如果你主要研究權證，那麼用於研究股票價格的大量變量就差不多可以忽略。我把自己認為會影響權證價格的因素寫成了一個列表，包括標的股票的價格、執行價格、波動率、到期時間以及利率水平。這些也是現在大家都一致認可的決定期權價格的因素。我開始思考決定期權價格的公式。那年夏天，我搬到了加州大學歐文（Irvine）分校。在學校的第一天，我告訴信息與計算機科學學院的院長我在努力研究權證定價模型。他告訴我學校有另外一個人也在做同樣的事情。這個人就是香農·卡薩夫，他已經寫了一篇包含決定權證價格理論模型的論文。這是一個不好不壞的模型。但總比沒有好。卡薩夫已經交易了一段時間權證，並且通過對沖頭寸，獲得了穩定的收入。我們開始一起工作，共同奮鬥，最終合作撰寫了Beat the Market一書。
Beat the Market一書裡有期權定價模型嗎？
書裡有一個卡薩夫以實證為基礎的公式。
這個公式跟你們最終得到的公式有多大區別？
完全不同。
在這些信息還沒有公開之前，你們為什麼要寫書告訴人們如何給權證定價以及發現錯誤定價的交易機會呢？
我們實際上在書裡回答了這個問題。我們認為其他人也會掌握類似的信息只是時間的問題。如果我們首先將這個信息公佈，潛在的投資者讀了這本書以後，會來找我們，這樣我們就能管理資金。
你認為這個決定正確嗎？難道你不認為你和卡薩夫如果自己利用這個方法交易權證而不將其公佈會更好？
我不這麼認為。因為從歷史上看，好的想法傾向於在近乎同一時間的幾個地方產生而不僅是一個地方。
像牛頓與萊布尼茲？
沒錯，或者像達爾文和華萊士。
你們什麼時候開始管理資金？
當我在加州大學歐文分校（UCI）時，一切就自然而然地發生了。卡薩夫和我都在管理自己的賬戶。名聲在外後，人們開始邀請我們管理他們的資金。這些人的資金每年的收益率超過20%。他們把這些告訴了他們的朋友。不久，我就有了十幾個賬戶，而校園裡開始有很多為此而開心的人。
你那個時候用個策略是什麼？
Beat the Market的主題是一般上市不到兩年的權證的交易價格都太高了。我們經常的操作是做空權證，並買入股票頭寸來對沖。
Delta對沖嗎？
我們開始用靜止的對沖策略，隨後我們決定用自己認為更好的動態delta來對沖。
你跟卡薩夫一起管理資金嗎？
沒有，因為我們對於策略如何執行的意見不同。卡薩夫認為他能預測股票價格的方向，有時會考察股票的基本面，然而我很怕做這些因為我不相信我有任何的預測能力。我認為我們應該一直保持delta中性對沖。 [10] 所以我們用自己的方式來各自交易。當我管理了一段自己的賬戶時，他和兄弟們開始管理基金業務。
你什麼時候開發了自己的期權定價模型？
1967年，我從保羅·庫特的《股票市場的隨機性質》中得到了一些關於如何定價權證的想法。我認為如果簡化地假設所有投資都以無風險利率增長，就能得到一個公式。由於delta中性對沖的買賣權證會得到一個風險很小的投資組合，那麼看起來我從無風險假設中得到的公式是可信的。結果就是得到一個跟未來的布萊克-斯科爾斯公式等價的一個公式。1967年我開始使用它。
你用自己的公式（也就是未來的布萊克-斯科爾斯公式）來識別過定價過高的權證，同時用delta對沖這些頭寸嗎？
因為每個被對沖的頭寸需要不同的保證金，而我又沒有足夠的資金來擁有一個多樣化權證組合同時將它對沖。我用公式識別出被高估最多的權證。我發現權證的市價是由公式所得的合理價格的2到3倍。所以我只是裸空權證。
沒有對沖的做空權證看起來與你最小化風險的理念完全相反。如果市場急速反彈怎麼辦？
這種情況確實發生過。從1967～1968年有一個大牛市。1967年的時候，小盤股上漲了84%，在1968年上漲了36%。持有淨空頭的日子很糟糕。然而，這個公式已經很準確了。權證定價過高以至於在我裸空權證後仍能保本。這個公式在最糟糕的環境下證明了自己。據我所知，在1967～1968年我做空的權證頭寸是布萊克-斯科爾斯公式在市場中的第一次實際應用。
布萊克和斯科爾斯什麼時候公開了他們的公式？
我相信他們是在1969年發現的，大概是在1972～1973年公開的。
您想過公開自己的公式嗎？
期權定價公式讓我在市場中的勝算很大。所以我只是欣然地用它來交易。到了1969年，我建立了第一個對沖基金，普林斯頓/紐波特合夥公司。我認為如果我公開了這個公式，我會失去能夠幫投資者賺錢的優勢。所以我認為最好就是保持安靜，僅僅是使用它。這就像擁有一個算牌系統，卻不將它公開。在布萊克和斯科爾斯公開了公式以後，就太遲了。不過我沒什麼可後悔的。
我相信可轉債的套利策略可能是普林斯頓-紐波特合夥公司（PNS）使用的核心策略。你現在可以談談你是否對這個策略有一定的創新？
可轉債就是一種公司債券，它的持有者可以將其在確定價格下轉換成公司固定份額的股票。實際上，可轉債就是一個公司債和一個看漲期權的組合。因為內嵌的期權是有價值的，所以可轉債所付的利息要比一般公司債的利息低。可轉債套利基金通常是買可轉債，同時做空有效數量的股票對沖，來抵消由於隱含的內嵌式看漲期權所帶來的多頭暴露（這就是Delta對沖）。起初，可轉債內嵌的選擇權是被低估的，可轉債套利基金通過買入低估的可轉債同時做空股票對沖市場風險，來賺取可觀的利潤。保持核心策略不變，市場積極地尋找錯誤定價的機會使得權證迴歸合理價格。這使得可轉債定價模型的精確更為重要。
在簡單的可轉債定價模型裡，可轉債就像一個公司債券附加一個權證。公司債券被設定提供了可轉換價格的下限。所以如果有一個5%的B級可轉債，那理所當然這個價格永遠不應該低於不可轉換的5%B級債券的價格。我們知道，如果股票價格下跌得足夠多，那麼這個的評級債券也將下降，最後設定的價格下限也不再是下限了。我們可以構建包含這個特徵的模型，來得到一個更加精確的可轉債定價模型。我們的模型也分析了與標的股票相關的所有其他產品，包括可轉債、期權、權證和可轉換優先股來找到最優的對沖組合。
在普林斯頓/紐波特合夥公司關閉以後，我打電話給費希爾·布萊克，因為我認為我們有比別人更好的可轉債模型，想要看看能不能把它賣給高盛。費希爾·布萊克從遠方飛過來，花了三天時間來審閱我的模型。他承認，這個模型看起來不錯。但問題是我們模型的代碼是為我們使用的迪吉多電腦量身定做的，這意味著要在他們的設備上使用，他們不得不重新編程。所以他最後沒有買它。後面的兩三年，他建立了自己的可轉債模型。我不知道他是否有參考我們的想法，但這沒什麼關係。
在您交易成功的過程中，決定最優的賭注大小有多重要？你如何決定用凱利法則作為確定賭注大小的方法呢？原因是什麼？
凱利法則主要是確定下注佔資金的比例，來最大化資本的複合增長率。即使有優勢，超出了某臨界值，更大的賭注會由於波動率的不利影響而導致更低的回報率。凱利法則確定了這個臨界值。長期來看，凱利法則裡這個比例的公式應該是：
F=PW-（PL/W）
式中，F=下賭注的資金佔總資金的比例；W=贏的資金除以損失的資金；PW=贏的概率；PL=賠的概率。
當贏的資金和損失的資金相等時，這個公式簡化成：F=PW-PL
比如，如果一個交易員在賠錢的交易中共損失了1000美元，而在贏錢的交易中共賺了1000美元。交易中60%都是贏錢的。那麼根據凱利法則最優的交易比例是20%（0.60-0.40=0.20）。
另一個例子，如果一個交易員在贏錢的交易中共賺了2000美元，在賠錢的交易中共損失了1000美元，輸贏的概率相等都是50%，那麼根據凱利法則最優的交易比例是25%（0.50-（0.50/2）=0.25）。
超額比例下注比低於標準下注傷害性更大。比如，只用凱利法則一般的比例下注會將回報率減少25%，而賭注加倍則會將贏利全部抹掉。不考慮單次的勝算，如果下的賭注比一倍還多，那將會導致負收益。
凱利法則並沒有假設最小賭注的大小。這個假設防止了全部損失的可能性。如果像在多數實際投資和交易中有最小交易單位的限制，如果這個比例低於最小交易單位，這種徹底損失是可能的。
我是在克勞德·香農回到麻省理工學院的時候，從他那裡瞭解到凱利法則。香農曾與凱利在貝爾實驗室工作。我猜香農是貝爾實驗室的首席科學家，而凱利則可能是第二位。1956年凱利寫了一篇論文，香農建議我參考一下。當我告訴香農關於21點賭博系統時，他告訴我在決定如何下注時去看看凱利的論文，因為相較於不利情況，你會想要在有利情況下下注更多。我讀了凱利的論文，它給了我很大啟發。
凱利法則關於用多少比例的資金來下注看起來最好是一個長期策略。當我提到長期，在拉斯維加斯玩一個星期的21點可能聽起來並不長。事實上，長期指的是下注的次數，而我可以在一個星期下注數千次。我在賭場將極速的滿足長期的要求。而在股票市場就不是這麼回事了。在股票市場裡一年的交易也不是長期的標準。但也有一些情況使你可以很快達到長期。比如，統計套利。在統計套利裡，你可以在一年裡進行成千上萬次的交易。凱利法則用來確定在長期可以實現最大期望增長率的賭注大小。如果你能計算每次交易或下注的勝率和平均輸贏的比例，那麼凱利法則會給你最優的下注比例來實現你的長期增長率最大化。
凱利法則將會給你一個長期增長的趨勢。隨著賭注次數的增加，偏離趨勢的百分比將下降。這就像大數定律。如果你擲10次硬幣，偏離期望值5的偏差理論上說很小，因為它不會比5大，但是從百分比來看，這個偏差非常大。如果你擲一百萬次硬幣，偏離的絕對值會更加大，但從相對值百分比來看，會非常小。凱利法則也一樣：從百分比角度來說，結果往往會收斂於長期增長趨勢。如果你用其他的法則來決定賭注的大小，長期增長率會比凱利法則得到的小得多。因為我想要最高的長期增長率，所以在賭場下注時，我選擇了凱利法則。不過有更安全的途徑可以將損失降至更低概率。
我的理解是如果你瞭解自己的優勢，並且能精確定義，當然這在市場上是不現實的，那麼凱利法則就會給你一個確定金額去下注實現最大化回報率，而下注過多或過少都會導致回報率下降。但我不理解的是，凱利法則似乎把所有的權重都給了回報的一邊。凱利準則唯一反映波動率的方式就是通過其對回報率的影響。而且事實是人們難以忍受高的波動率，非常實際地考慮你的止損點並不是凱利法則所假設的零，而是你可承受的最大損失。看起來，這個比例應該是在滿足最小化風險（即到達回撤點）的約束下來實現最大化增長率。
假設你有一百萬美元的資金，你的可忍受的最大損失是20萬美元。那麼從凱利法則的角度，你並沒有100萬的本金，你只有20萬美元。
所以，在你的例子中，你仍舊利用凱利法則，但是你的本金是20萬美元。但你玩21點時，你也直接使用凱利法則嗎？
是的，假設我確信專家不會作弊，因為我的目標是在最短的時間內賺最多的錢。
那在你管理基金的時候呢？
當我管理基金時，我不是一定要按照凱利法則來做決定。如果你利用套期保值來進行理論上的風險對沖，那麼凱利法則很可能會包含使用槓桿。在普林斯頓/紐波特合夥公司的基金裡，所有頭寸都被進行了套保，我發現我不能完全按照凱利法則的理論加大組合的槓桿比率。
為什麼？
因為經紀公司不會給我這麼大的借貸能力。
這是否意味著，如果凱利法則在實際中是可行的，你就已經用其交易了呢？
我可能不會因為如果用凱利法則比例的一半下賭注，與完全按照凱利法則相比，波動率下降了一半，回報率下降了25%。這樣的交易更加使人安心。我相信只用凱利法則比例的一半下賭注心理上會更好受。
我認為有更加核心的原因來解釋在交易時所下的賭注低於凱利比例始終是理性的決定。交易和像21點這樣的博彩之間有重要的區別。在21點中，理論上我們可以知道精確的概率，但是在交易中贏的概率往往是一個估計，而相對於下注低於凱利比例賺的錢按相等數量超過其比例損失的錢更多。考慮到交易中贏錢概率的不確定性以及凱利法則中回報固有的不對稱性，即使你能控制住波動率，看起來理性的選擇仍舊是一直保持低於凱利比例下注。此外，還有一個理由，實際上對於任何投資者來說，一單位額外收益的邊際效用都比一單外額外損失的邊際效用小得多。
你說的沒錯。假如我去賭場玩21點，我知道投注的賠率是多少。我會完全按照凱利比例下注嗎？可能不會。為什麼？因為有時莊家會耍詐。因為一些超出我計算範圍的事情可能會發生，所以實際贏率可能和我計算的有所不同。如今我轉向了華爾街。我們不可能從一開始就計算出確切的概率。其次，有一些超出我所知道的影響概率的事情正在發生。所以你需要縮減賭注到一定範圍因為過度下注真的會讓你受到教訓，你將得到更低的增長率和更大的變動性。因此，類似於用一半的凱利比例下注就可能是一個謹慎的開始。而後，如果你對概率更加確定，你可以增加下注比例，反之亦然。
實際上，你最終將比例下降到凱利法則的一半嗎？
我從沒有被迫做出這項決定。因為有如此多的交易機會，以至於我通常不會在任意一次交易中投入高於合理比例的資金。但偶爾也會有例外，我會很難繼續下去。一個很好的例子是AT＆T和Baby Bells。舊的AT＆T股票將要換成新股和七個Baby Bells的地方公司。你可以做多AT＆T的舊股票，在新股發行時做空AT＆T的新股票，將價差鎖定在0.75%左右。
你的那次交易資金投入有多大？
500萬股大約有3.3億美元。這是當時紐約證券交易所完成的最大一筆交易。
你那時的資本金是多少？
大約7000萬美元。
你如何決定交易規模？
我們所擁有的全部。
我猜想你是因為這是一個眾所周知的無風險交易，所以你的交易規模才會這麼大。
雖然看起來是這樣，但需要明確的是，沒有真正的零風險交易。
你可以闡述一下嗎？
有一些極小的可能是我們忽略了一些事情，也總有一些可能是某些未知的因素。
你第一次是如何接觸到統計套利呢？
1979年，我們開始一項叫作指標項目的研究工作。我們尋找一些有預測能力的指標，比如盈餘驚喜、股息支付率和市淨率。我大約調查了30～40個指標。作為項目的一部分，研究人員觀察了在最近一段時間漲幅最大和跌幅最大的股票。他發現漲幅最大的股票傾向於在下一時期跑輸大市，而跌幅最大的股票傾向於跑贏大市。這項發現使我們想出來一個策略，購買跌幅最大股票的分散化投資組合，同時做空漲幅最大股票的分散化投資組合。我們稱這個策略為"MUD"。我的朋友，加州大學歐文分校（UCI）的數學家，威廉·多諾霍曾開玩笑地說，“索普，我的建議是低買高賣。”他幾乎沒有意識到自己距離真理有多近。
我們發現市場中性策略在扣除成本前大約有百分之20的年回報率。由於多空頭寸並沒有像我們希望得那樣運行，所以這個策略的風險相當高。有兩個問題，一個是降低風險，另一個是降低成本。我們認為可以降低交易成本，而風險也不是問題，因為這個策略只是較大組合的一部分。所以這看起來是一個可行的策略。
你們用漲跌幅最大的股票作為最有效的指標，但我很好奇你們測試的其他指標是否也是顯示有效的呢？
有的。那段時間我們發現了股票具有一個非常明顯的模式，取決於他們是否支付股利。不支付股利的股票看起來有超出正常的回報。支付低股利的股票有低於正常的回報，但是隨著股利支付的上升，總回報也傾向於增加。一個有效的U型曲線建議購買不支付股利和支付高股利的股票，做空支付低股利的股票。盈餘驚喜看起來也有相當長的一段時間——數星期甚至數月的影響，這顯示市場接受這類型的信息很緩慢。這些不全是原始發現。我們梳理了文獻，試圖時刻關注著這類研究的最新信息。結合從其他來源獲得的研究以及我們自己原創的理念，我們得出了一個對我們有幫助的相當長的指標列表。但是普林斯頓/紐波特基金在風險調整的基礎上用其已有的資金運行得非常好，以至於我們暫時不考慮統計套利策略。目前還不清楚，在現有策略基礎上增加統計套利策略而得到的邊際改善是否可以作為轉向執行此策略需要資源的證據。
你何時又回到了統計套利？
1985年，我們在《華爾街日報》投了一個廣告來尋找有可靠想法並可以產生超額回報的人。我們收到的其中一個回覆來自於格里·班伯格，他在摩根士丹利時，已經發現了統計套利策略。我記得大約在1982年他開發了這個策略，最終將其讓給了他的直屬上司農西奧·塔爾塔利。塔爾塔利進來以後一段時間，接管了這個策略。班伯格非常不滿，離開了摩根士丹利。他看到了我們的廣告，來紐波特比奇面試。他起初守口如瓶，但很快他開始談論自己的策略。我意識到這與我們想的統計套利方法相同，但他增加了一個維度明顯降低了風險。相對於我們自己的策略，班伯格的創新，是將股票按行業分組，在每個行業裡建立多空投資組合。通過添加行業中性，他顯著降低了策略的風險。
當班伯格解釋他的行業中性方法時，你的第一反應是“如此明顯，我為什麼沒想到呢？”
當班伯格解釋他的投資組合結構時，我說：“是的，那很明顯。”但我沒提到，“為什麼我沒想到呢？”可能因為我們已經將項目擱置了。我相信，如果我們決定將統計套利的方法運用到我們的投資組合，我們可能會非常快地轉移到行業中性方法。
班伯格告訴你他的方法以後，接下來發生了什麼?
我們創建了一個合資公司，班伯格在紐約工作。我們提供資金，他負責運營。
我只是好奇。你已經基本知道了班伯格的想法，而且他的創新你也可以輕鬆地實踐，如果你沒將統計套利的項目擱置，你自己可能已經實現了這個方法。所以你真得不需要班伯格。如果是這樣，你與他共享利益的動機是什麼呢？
這幾乎就像是一個特許經營。他非常機敏高效。他組建了自己的團隊，經營自己的工作室。跟他一起合作是非常值得的。我們自己運行這個策略也可能發生類似的成本。
所以這並不是為班伯格的想法付費，而是執行這個想法。從本質上說，你認為有人很清楚地理解這個概念，並且可以執行你沒使用過的方法？
沒錯。和他工作幾乎沒有行政成本。他也是一個非常誠實和有原則的人。
索普在一系列文章裡描寫了他的統計套利的經歷，他對班伯格進行了如下的人物速寫。
格里·班伯格是一個身材高大挺拔的正統猶太人，他的智商很高，用原始的方式看待金融問題以及有著帶諷刺的幽默感。他在紐波特比奇和我們一起工作了幾個星期。幾天後，我注意到格里總是用一個棕色的袋子裝午飯，並且總是吃金槍魚沙拉三明治。最後我不得不問，“你多久吃一次吃金槍魚沙拉三明治當午餐呢？”格里回答說，“過去的六年裡每天都是。”他是一個煙鬼，而我對二手菸極其敏感，我不僱用吸菸者，也不允許有人在辦公室裡吸菸，所以我們談判的一部分就是如何處理這個問題。我們相互尊重，最後得出了一個這種方案來滿足雙方的需求。無論何時格里想要抽菸，他都會走出底層的花園辦公室。
這個基金運行得如何？
它運行了幾年，表現非常好，而後回報就開始下降了。那時，班伯格已經通過合資公司賺了很多錢，他決定退休。此刻，我重新將注意力轉移到這個策略上，並且肯定有一個更好的方法去實踐它，使回報重回高位。我的想法是讓策略因素中性。我們做了一個投資組合的主成分分析，試圖對沖主因子的風險。
你最終通過哪些具體因子對沖了投資組合的風險？
在因子分析中，有兩種不同方法。一個叫做經濟因子分析法，你知道具體的因子，比如，權益指數價格、油價等。另一個方法是抽象因子分析法，你所知道的是每個證券的回報，你用數學模型來處理它，最後得到一組不一定與經濟因素一致的抽象因子。這些抽象因子最佳描述了正在使用的實際歷史數據。
這種因子不是具體的項目而是數學模型構造的，那這類型的方法叫什麼？
我叫它抽象因子分析，而主成分分析是這個方法的另一個版本。如果你有大量的數據，你就能找到互相垂直的空間向量，我們稱其為主成分，它們能夠最好地描述數據。
是由於正交性，所以多重共線性才不是問題嗎？
是的。在抽象因子分析中沒有這個問題，但是在經濟因素分析中，有些因素之間密切相關。
這聽起來像是抽象因子分析相較於經濟因子分析的最大優勢。
是的，我認為是這樣。抽象因子分析通常會等同於具體的經濟因子或者是這些因子的線性組合。比如，實踐證明最大的抽象因子或等價的主成分是股票市場。
但實際上你不需要這些信息，這只是一個有趣的插曲罷了。你可以完全不瞭解真實的世界而仍舊使用抽象因子分析方法。
那是正確的。我們應用了因子中性法，收益上升，風險大幅下降。
你們哪一年開始將策略做了改變？
我們在1986年看到了班伯格方法的收益開始下降，那時開始研究這個想法。
所以在班伯格沒有退休的時候你們就開始研究這個新方法了？
是的，他在1987年離開了公司。
在班伯格退休後，你們完全失去聯繫了嗎？
實際上在20世紀90年代中期，他的老婆聯繫了我，問我可否為他的一個法學院申請寫一封推薦信。我很樂意這麼做。據我瞭解，他去法學院讀書拿到了學位，但接下來的事情我就不清楚了。
你通過應用因子分析法將統計套利進行了修正，接下來又有什麼新的發現嗎？
在班伯格離開和因子分析方法執行期間，統計套利策略中斷了一段時間。在那段交易期間，1987年10月的股市大崩盤發生了。那段時間太糟糕了，我們錯失了實踐這個策略的最好時機來實現大量的回報。但是直到1989年我們仍一直保持著高的收益率。那時在普利斯頓辦公室陷入與Giuliani的法律糾紛後，普林斯頓紐波特最終關閉了。
我們能談談這個故事嗎？你是如何與普林斯頓辦公室的里根開始合作的？
1969年我遇到他時，他還是一個股票經紀商。他想找到一個可以比單純做經紀商更好的事業，他發現對沖業務可能很適合他，所以他開始尋找合作伙伴。在他心目中有四位人選，我是其中之一。在我和卡薩夫合寫的暢銷書Beat the Market出版後，他對我進行了研究。而我也在尋找一位能負責業務和行政方面的事務的人。因此我們一拍即合，各司其職，各取所需。
你初次發現普林斯頓辦公室被調查是什麼時候？
我第一次聽到這個事情是在我們辦公室的一個工作人員接到了普林斯頓辦公室的電話。他說聯邦特工衝出電梯，拿走了所有的記錄。由於調查要求，我在隨後才知道，里根和普林斯頓辦公室的其他員工早在一年前就知道了事情的始末。
所以你在事情見報前，才知道這些事？
沒錯。
你的反應是什麼？
我不知道這個突然搜查的動機是什麼，或者說政府想要找到什麼。
里根從來沒有暗示過你正在進行的事情嗎？
完全沒有，無聲無息。
你對里根的評價出錯了嗎？
我認為他已經變了，多年以後他不再是當初我們合作時我所認識的那個人，可能成功慢慢腐蝕了他。
當你發現這些以後，你是如何做的？
我和里根以及普林斯頓辦公室的其他被告達成協議公司的責任最多隻有250萬美元，我們會用這些錢為他們辯護。他們的想法是公司應該支付所有的辯護費用，而我的態度是如果他們有罪，那麼公司不應該付任何費用。我們最終在250萬美元達成共識。而最終的法律費用有1200多萬美元，遠遠超過了我們的協議數字。
所以在這個問題上你和里根是對立的？
是的，尤其是我從來都不知道發生了什麼事。他們已經自成一體了。
在這種情況下普林斯頓辦公室運行的如何？
由於他們都被法律事務弄得無心工作，一切仍舊步履維艱。起訴後的幾個月，我見到了里根，告訴他，“我不知道這裡發生了什麼事。我很願意管理所有事物直到一切結束。如果你們願意現在辭職，若後面被宣告無罪，我將很高興讓你們恢復原職。如果你們覺得有必要，我也可以書面寫下承諾。”
但他毫無回應，我就像是在對一個失聰人士講話。我認為這不是我想繼續的合作關係。後來除了結清頭寸，公司也很快就關閉了。
你考慮過自己重新建立一個基金嗎？
我不想要在運行一個基金時所有事情都親力親為。這也是為什麼我最初選擇一個合夥人來負責業務。我也想要一些私人時間。
普林斯頓/紐波特合夥公司關閉後發生了什麼事？
我留了紐波特比奇辦公室的一小部分員工。在1990～1991年我們主要交易日本的權證，這個交易獲利豐厚直到經紀商開始大幅提高買賣差價。這個交易的潛在利潤有30%，但隨著買賣差價的提高，交易成本上升到15%。所以我們不得不放棄了這個策略。
接著我聽說統計套利做得很好，我之前的一位大投資者想要我重新將它建成一個可投資的策略。1992年，我們重新開始了這個策略。雖然在第一年它僅有5%～6%的回報，但那一年除了隨機波動，我們沒有任何理由來獲得低於市場的回報。因此我們仍有信心繼續這個策略。
在普林斯頓-紐波特合夥公司關閉以後，你沒有交易的這段期間，策略表現得如何？
從1989年我們關閉合夥公司到1992年8月重啟統計套利的這段期間，策略本來會表現得很好。我們開始重新交易時的收益很低，但是我們仍繼續堅持，而後，這個策略表現得越來越好。我們運行了這個項目將近十年的時間，在不考慮回報和槓桿的情況下，年回報率有21%，而標準差只有7%。
你為什麼在2002年這個項目有如此強的風險回報記錄時，選擇關閉它呢？
有幾個原因。首先，回報看起來在下降。我不確定這個趨勢是暫時的還是永久的。但我懷疑它會繼續，因為現在有比過去更多的資金在追逐相同的策略。我們本來可以繼續努力走在潮流的尖端，使回報繼續保持著高位，但這意味著需要我大量的思考和努力。那時，我對自己說，生命越來越短，是時候做些其他事情了。另一個原因是我有幾個重要員工想要更多的利潤，一個我認為不合理的數額。所以我說：“那太多了，再見。”
你還有再看過這個項目運行得如何嗎？
我幾年前看過它的運行。它的年化收益率大約有8%，相較於市場2%的回報還不錯，但這不足以讓我想要重新開始運行它。
那你與另一個相對早期的統計套利實踐者戴維·肖，有什麼故事呢？
1988年，戴維·肖離開了所羅門，尋找能為他提供統計套利初創資金的人。他剛開始來的時候，我不知道他到底想要什麼，但是經過大約六個小時的討論後，看起來他的策略對我們來說是冗餘的，所以我們友好地分開了。
所以基本上你們都意識到自己在做相同的事情，而且真的沒有可以合作的地方。
完全沒錯。
你在2002年關閉統計套利基金以後做了什麼？
我將自己的資金投入到其他人的對沖基金裡。
你在投資對沖基金時有什麼推薦嗎？
我現在沒什麼推薦因為我已經沒什麼對沖基金的候選者了。
為什麼會這樣？
20年前，我非常瞭解對沖世界因為我自己也在運行，我認識許多玩家也知道很多方法。我非常清楚哪些基金有贏利，哪些基金只是聚攏資金。從那時起，對沖基金和資產管理如雨後春筍般湧現，越來越多資歷尚淺的玩家順應潮流進入了市場。隨著越來越多的資金追逐相似的策略，資產管理規模的增加也在逐漸降低迴報。隨著有越來越多的基金經理可以選擇，找到一個好的對沖基金也越來越困難。多年以來，對沖基金開始從贏利轉變到以聚攏資金為目的。同時，基金的管理費用在上升。曾有一段時間只有20%的激勵費用。接著增加了1%的管理費。再接下來是20%的激勵費加上2%的管理費。這些趨勢都讓投資者很難從對沖基金中得到好的回報。
共同基金的回報已經等同於市場或者說當您考慮到交易成本的時候，回報比市場更糟。你覺得對沖基金行業正在步共同基金的後塵嗎？
我相信總回報的下降使得對沖基金已經沒有從前的吸引力了。
你認為對沖基金行業的穩態均衡在哪裡？
在我看來，穩態就是對沖基金沒有超額風險調整回報的時候。
由於缺乏流動性的風險補償，你不會期望一些超額回報嗎？
我贊成相應的風險補償。
你認為現在市場進入到哪個階段了？相對於其他投資而言，對沖基金仍在風險調整的回報中有一些溢價嗎？
我的直覺是他們仍舊有優勢，但並不多。
你仍舊投資對沖基金嗎？
我有一段時間沒發現好的投資了。不過，如果有，我會很樂意投資。
所以你仍舊投資於早期的品種？
是的，但是由於我認為有些基金不再如從前那樣好，或者他們的回報在下降，所以投資的數量在逐漸減少。
隨著基金數量地迅速壯大，當您在積極地尋找新的對沖基金去投資時，你是如何篩選的？
我將年標準差超過15%，或者年回報低於12%，以及運行糟糕的基金篩掉。
在您遇到過的基金經理人中有哪些是憑直覺而不是通過詳細分析市場來賺到錢的嗎？
多年前我與Bruce Kovner待了一天，我認為他能很好地定性把握市場間的各種聯繫。如果你能像Bruce Knover那樣思考問題，那你就能遵循他的道路獲得成功。我和Bruce一起合作投資在他的一個想法上。Bruce買了一艘油輪，並讓許多他所認識的人一起投資。它叫做皇后Des Mers，是那時世界上最大的油輪。我想我大概擁有這個油輪的20英尺。由於當時油輪過剩，而舊的油輪保存良好，我們以一個高於殘值不多的價格買下了它。我想這個殘值大約在400萬美元左右，而Bruce用600萬美元買下了它。有點像石油市場的看漲期權，我們坐等價格的上漲。當石油市場活躍起來時，油輪的需求極大，我們的油輪週而復始的工作，賺了很多錢。它一直在工作直到幾年前，油輪逐漸報廢被賣掉。
你怎麼認識的沃倫·巴菲特？
我還在加州大學歐文分校（UCI）的時候，開始管理交易權證的賬戶，我在學校有一定的名氣。研究生院的院長Ralph Gerard，聽說了我的事情。他恰巧是巴菲特有限合夥公司的投資人之一。這個公司正要被關閉因為巴菲特認為股市在1968年瘋漲，他覺得無能為力。Gerard需要找到另一個投資來放置他從巴菲特那裡拿回的資金。他將我介紹給了巴菲特，在1968年我剛見到他時我就知道他很聰明，我們一起在Gerard的家裡玩過幾次橋牌。我記得我跟妻子講過，綜合了巴菲特分析公司的能力，複合率以及方法的變通延展性，我認為他將成為美國最富有的人。幾十年後他有段時間確實如我所言，並且從那以後一直都是。我與巴菲特失去了聯繫，而後到了1982年的某一天，我瞭解到，他在1968年分發的股票Berkshire Hathaway，已經變成了他的私募基金。我立刻意識到這意味著什麼。他們在1964年以每股12美元的價格出售，而我現在是以每股985美元的價格購買的。
你考慮過跟隨期貨的趨勢來設計策略嗎？
我相信有很多種可能使得夏普比率在1.0以上，但由於夏普比率的數值很低，不足以實踐這些策略。
我明白了你是相信市場有內生趨勢存在的。
是的。十年前，我並不相信。但是幾年後，我開始花大量的時間來研究這個策略。我的結論是這個策略確實有用，但是它的風險太大以至於很難持續下去。
你用過跟隨趨勢的策略嗎？
用過。
你何時開始交易期貨的？
我們在2006年開始這個研究項目，並在2007年年末推出交易計劃。這個交易看起來是可行的，因此我們考慮引入機構投資者的資金將其擴大。但在2010年年初，我的妻子被診斷患有腦癌，我無心在這個交易上。生命太短暫了，我不想再讓其他事情佔據我的生活，所以我們逐漸結束了這個項目。
所以這個項目在你實踐時就已經運行得很好？
相當不錯。雖然它不如普林斯頓-紐波特策略或者統計套利有吸引力，但是它確實是一個好產品，而且它似乎比其他大多數管理大筆資金的跟隨趨勢項目要好得多。
你項目的夏普比率是多少？
按年算比1.0大一點。
既然你已經不再使用這個策略，你可以談一下，你對普通的追隨趨勢方法做了哪些改進嗎？你的項目有什麼特別之處，使它運行得更好呢？
我們結合了技術面和基本面的分析。
什麼樣的基本面信息？
不同市場我們考慮的基本因素不一樣。在金屬和農產品市場，價差結構非常重要，比如市場是處於現貨升水還是期貨升水狀態，還要考慮相對於儲存能力的存量。而在外匯市場中，這些因素就無關緊要了。
你的方法可以解釋為將技術趨勢追隨原則與識別市場環境的特定基本面過濾器結合嗎？
可以。
你對這個基本的趨勢追隨方法有做其他加強嗎？
我們將一些降低風險的方法構建到系統裡。我們通過追蹤相關係數矩陣來減少相關市場的風險暴露。如果兩個市場高度相關，而且技術系統顯示做多一個市場，做空另一個市場，這將再好不過了。但是如果它顯示兩個市場同一個方向，那麼我們就會在每個市場持有較小的頭寸。
由於隨著時間的改變，市場間的相關係數會完全地改變，甚至會改變正負，那你多久回測一次呢？
我們發現60天比較合適。如果時間窗口太短，會有很多幹擾項。而窗口太長會包含很多不想管的信息。
你還有將其他降低風險的策略納入系統裡嗎？
我們也有一個有點像舊的投資保險策略的風險管理過程。如果我們損失了5%，我就會減小頭寸。如果再損失一些，我就會繼續減小頭寸。隨著我們損失的增加，這個程序會自己走出困境，最後漸漸將自動結清頭寸。在減少頭寸前，我們會等待在5%～10%之間的止損點，而後隨著每1%的額外損失，我們會逐漸減少頭寸。
當損失減少到什麼程度時，你們的頭寸會減少到零？
20%。
你們最多損失了多少？
我們的最大損失是14%～15%，那時我們只持有了正常頭寸的1/3。
如果損失下降到20%，你會如何重新開始呢？
我不會。你需要提前考慮多少的損失預示著系統不如想象中的好，從而不會用它來交易。
回頭來看，你認為在損失時減少風險暴露是一個好想法嗎？
這取決於你對自己勝算的信心有多大。如果你堅信自己的勝算，那麼最好就是坐在那裡吃吃苦頭。但是，如果你相信你可能沒那麼大勝算，那麼你最好設置一個安全機制來控制你的損失。我認為趨勢追隨就是我永遠都不能確定我有百分之百的勝算。所以，我想要有一個安全機制。而對於像可轉債套利這樣的策略，我對它們的回報概率很有信心，所以對於它們減少風險暴露是沒有必要的。
不同於可轉債套利策略，在趨勢追隨的策略中你不能精確地評估贏率，那麼你的凱利法則比例是多少？
因為交易資金的比例只是凱利法則非常小的一部分，根本沒有多大影響，所以我們在趨勢追隨的策略中完全沒有使用過凱利法則。我猜實際的大小可能是指凱利比例的1/20～1/10。
我知道你在麥道夫職業生涯的早期調查過他，你能講講那個故事嗎？
早在1991年，在我普林斯頓-紐波特基金裡一個主要的機構投資者請我為他的養老基金審核一下資金分配過程。我在他們的辦公室用了幾天時間來審核他們的基金經理。其中一位因其每月報告了1%～2%的正回報而出名。他們已經讓這個經理管理了幾年資金。我讓他們拿報表給我看，仔細審閱了報表後，我得出了一個結論，這個經理是一個騙子。
你如何得到這個結論的？
首先是看看這個經理說他做了什麼。據說他的策略是買一隻股票，買一個執行價格略低於股票價格的看跌期權，賣一個執行價格略高於股票價格的看漲期權。他收到的看漲期權的費用幾乎平衡了所支付的看跌期權的費用。購買看跌期權可以保護他免於過多的損失，但這不意味著我們每個月都會贏。如果有一個月市場漲勢強烈，那麼它的策略會運行得很好，因為他可以賺到看漲期權的執行價格與他購買股票時價格的差價。相反，如果有一個月市場價格持續下行，由於他購買的看跌期權的行權價格低於他當初購買股票時的價格，這樣他會有所損失。既然他在所有的股票中都用相同的策略，那麼他就不可能在大多數月份，整體趨勢一致的情況下得到組合的分散化。所以他應該有贏錢的月份也有應該輸錢的月份。但是這些結果並沒有顯現在報表上。根據他聲稱用的策略，他的回報確實與市場不符。所以我的問題出現了，為什麼會不一致？
在我看了交易記錄後，我注意到這個神奇的交易會定期進行，這樣可以避免潛在的損失月，使他們成為贏家，同時也可避免高贏利的月份，使他們的獲利很平均。而這些神奇的交易就是在恰當的月份做多或者做空恰當數量的標準普爾期貨來平滑回報率。
在初次審核後，我問客戶，“你一般在什麼時間收到你的交易確認書？”他回答說：“他們每隔幾個星期會來一批。”
我問：“誰是會計？”
他們回答說：“是麥道夫的一個朋友。他自己開了一個事務所，從20世紀60年代開始，他成為了麥道夫的會計。”
我嗤之以鼻，問：“誰負責你們的信息技術系統？”
他們回答：“哦，他的弟弟，彼得·麥道夫。”
我告訴他我想仔細檢查一下基金的運營情況。他們打電話為我安排了訪問。Bernie去了歐洲，賺了更多的錢。他的兄弟彼得表示，“我是不會讓他進來的。”我讓他們問原因，但彼得並未回答。我覺得事情已經初見端倪。我告訴我的機構客戶，我想拿他們的日常確認書以及月報告來更詳細地分析一下。他們同意了，並讓我分析後做個報告反饋給他們。
我帶了幾箱確認書和報告回到加州，並仔細審核了這些信息。我們研究了每份交易確認書，發現大多數的交易可能從來沒做過。因為股票交易很難證明真偽，所以我們將目標定在了期權上。一半的期權交易顯示零成交量，甚至沒有在交易日交易。餘下的1/4並沒有在報價上成交。另外的1/4，我們已經不能判斷交易是否發生了。我挑選了其中的10次交易，讓我一個在經紀公司任高層的朋友幫忙，找出這些交易的對手方。他檢查發現麥道夫的公司並沒有出現在交易的任何一方。
我告訴我的機構客戶，“他在賬面上造假，一切都是杜撰的。你要做的就是儘可能快而悄悄地撤出這個基金。這是一個巨大的龐氏騙局，雪球會越滾越大，最終將會走向自我毀滅。”
他們退出了嗎？
是的。
你還做了其他事情嗎？
我想將這件事公開，但我已經被政府的Giuliani和普林斯頓-紐波特合夥公司的事情弄得頭昏腦漲。我之前也發現了一些小的欺詐事件。我的一個律師朋友為美國證券交易委員會工作了八年，將這些事報告出來非常浪費時間。
為什麼？
因為他們不關心這樣的事情。
你如何看待有效市場假說？
基於我們基金平時的成功，問題並不是“市場有效嗎？”而是“市場有多麼的無效？”以及“我們如何利用這些市場失靈？”
市場有效的說法意味著超額收益是不可能的，這是一個空洞的說法，因為你無法證明它是錯的。但是如果有人可以有明顯的回報，那麼你就可以反駁這個理論。如果市場參與者可以賺取超額回報並且能夠合理解釋這個原因，那麼市場確實是失靈的。可轉債套利就是一個好例子。你可以確切地計劃它運行的方式、原因，以及預估你能得到的回報。
多年以後，你如何總結自己的市場哲學？
我認為市場失靈是存在的，但它們很難找到。
考慮到市場競爭力的增加，你認為市場失靈越來越難找了嗎？
對我來說是這樣，但對別人來說就不一定了。我年事已高，興趣漸無，而且口袋也越來越滿，這讓我失去了發現失靈的動力。
你對那些想要以追逐市場作為挑戰的人有什麼建議嗎？
對我有用的方法寫在了隨後將要出版的一本叫Do What You Love and he Money Will Follow的書中。
還有其他的嗎？
試圖找到你所擅長的領域，將其應用於市場。如果你擅長會計，那你可以成為一個價值投資者。如果你很擅長數學和計算機，那你最好做定量研究。賭博和投資聽起來可能沒有太多共同之處，但對於索普來說它們很相似。它們都是以概率為基礎的遊戲，可以利用解析方法來解決問題，找出勝率，即使這樣的答案可能不存在。索普推翻了先前所固有的觀念，他努力將同類型的科學思維和數學推理應用於賭博和投資。因此毫不奇怪，他在賭博中運用的原則和風險管理也同樣適用於交易市場。
決勝輪盤賭一度被認為在數學上是不可能的。但通過一個完全不同的方法將注意力轉移到預測小球最終停留的區域可以解決這個問題。索普的策略可以得到44%的勝算。這個經驗告訴我們有時看起來不可能的事，換個角度想完全是可能的。類似的方法也可用於交易中。即使大家認為用常規的辦法來跑贏大市是不可能的，但是這絕不意味著非常規的方法也有這種限制。
相對於在何時停牌、拿牌、分牌，以及雙倍下注的概率決定基本系統，索普著力於改變下注大小來改進在21點中的贏率。通過在贏率較高時多下注，索普能夠將一個不考慮賭注大小的完善決策下正在受損失的遊戲轉變成一個勝率很高的遊戲。這個方法對交易員也非常重要：變化頭寸大小與入市時機同樣重要。在贏率較低時較少的下注或者不下注，在贏率高時加大賭注，可以將一個輸錢的策略變為贏錢的策略。索普在玩21點時即使勝率低時也要下注，但交易員完全可以放棄低贏率的交易。
儘管在交易中概率不能像在21點的牌類博彩中精確評估，但交易員仍能經常區分出交易機會的概率高低。對於量化的交易員來說，這樣的評估可能是基於不同策略歷史數據的統計分析。任意決定型交易員，對不同的交易的信心水平區別很大。如果交易員在信心高的交易中做得更好，那麼信心水平就可以作為贏率的一個替代。這意味著，交易員會在高信心的交易中提高交易量，而在信心不足的交易中減少交易量甚至不做交易。
交易員的信心程度不僅與決定交易頭寸的大小有關，也與決定風險管理辦法有關。當索普做套利交易時，可以大概評估最大的理論風險，即使現在的頭寸對他不利，他也不考慮減少風險暴露。但如果，他利用趨勢跟隨策略，交易是定向的，贏率是他所有用過的策略中最難確定的，那他就會在損失部位減少風險暴露。
索普在賭博中學到的經驗就是，“下注的數量要在你可接受的範圍，慢慢來，直到你準備好為止。”他從很小的賭金開始下注，他的勝算不低，還有支持者的期望。他最開始的壞牌下注1美元，好牌最多下注10美元的方式，讓支持者非常煩惱。索普的這種對於風險和心理舒適程度的方法也同樣適用於交易員。感情用事對交易來說是致命的，而驗證感情能否會影響交易決定的最好方法就是讓交易大小超過交易員的內心舒適度。
許多交易員都錯誤地相信有定義市場行為的單一解決方案。只要他們可以找到這個方案，那麼交易就會像在操作一個賺錢機器。他們堅持不懈地在尋找這個聖盃。而事實是，這種方案並不存在，即使它存在也是在不停變化的。成功的交易員適應不停變化的市場環境。即使當他們找到了可以提供市場贏率的模式或方法，他們也會根據市場的指導而不停修正。在市場中發現成功是一個動態而非靜態的過程。
索普的統計套利方法是適應市場的一個案例研究。最初的構想是通過做空漲幅最大的股票來平衡跌幅最大股票的多頭頭寸，來實現組合近乎零的風險暴露。當這個策略的風險回報開始惡化時，索普轉向了這個策略的變體，向市場中性添加行業中性。當行業中性的統計套利也開始失效時，他又轉向了行業間的風險對沖。經過第三次修正後，最初系統的價值已經大大下降了。通過不斷的調整和修正策略，索普能夠持續的保持很強的風險和回報的表現。而原始的系統的強勢只是暫時的。
交易的最優規模是多少？理論上這個問題有明確的答案就是凱利法則，它能用數學證明長期來看這個大小能獲得最高的累計回報。但有一個問題。在凱利法則中假設贏的概率以及輸贏的比例都是已知的。儘管這個假設對於可計算概率的博彩是正確的，但對於交易來說贏得概率是未知的，最多是有很大誤差的估計。如果用凱利法則來決定交易的頭寸大小，那麼高估了贏率會受到很大的懲罰。事實上，高估交易大小的負面影響是低估交易大小的兩倍。所以，對於交易來說，通常不知道贏率的確切大小，那麼最好的交易規模往往是比凱利比例的建議小得多。
同樣，即使假設凱利法則的交易規模是明確已知的，權益流動的波動性非常大，遠遠超過了人們的舒適度。高的波動率意味著凱利法則不再是一個簡單的審美標準，它也有很強的實踐作用。權益流動的波動性越大，交易員在損失時棄用這個方法的概率越大。索普建議即使贏率是可以合理估計的，最好是用凱利比例的一半來交易。如果這個估計的誤差很大，那麼只建議很小比例的凱利數額。當索普使用趨勢追隨系統時，他估計自己的交易規模可能還沒有凱利法則的十分之一，由於這個比例很小，所以他就沒有用凱利法則的標準來做交易。
在做交易時我們應該如何利用凱利法則呢？這個視情況而定。如果你認為自己可以大致估計出贏的概率以及輸贏比率，那麼凱利法則在決定交易頭寸時是有用的。然而，在這個例子中，一半的凱利比例比全部更好。如果贏率的誤差很大，那麼一半的凱利數額可能也太大了，凱利法則也並不是放之四海而皆準的。
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