一、知識點總結
1、勾股定理逆定理
如果一個三角形的三邊長分別是 a , b , c 且滿足 a^2 + b^2 = c^2 ，那麼這個三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以用來判斷一個三角形是否是直角三角形，也可以用來判斷一個角是否是直角。
2、勾股數
滿足 a^2 + b^2 = c^2 的三個 正整數 ，稱為勾股數。
常見的勾股數組有：
常見的勾股數圖
勾股數的性質及應用
① 勾股數組的整數倍仍然是勾股數組；（例：6,8,10；20,48,52等）
② 勾股數的倍數作為三邊長的三角形也是直角三角形。
構造勾股數的重要方法
① 當 n 為大於 1 的奇數 ，則
構造勾股數的方法圖（1）
② 當 n 為大於 2 的偶數 ， 則
構造勾股數的方法圖（2）
3、判斷一個 △ABC 是直角三角形的步驟：
① 首先確定最大的邊 （一般常設為 c）；
② 驗證 c^2 與 a^2 + b^2 是否具有相等關係，
如果 c^2 = a^2 + b^2 ，那麼 △ABC 是以 ∠C 為直角的直角三角形；
如果 c^2 ≠ a^2 + b^2 ，那麼 △ABC 不是直角三角形 。
二、典型例題
例題1、若一個三角形的三邊長分別是 6 ， 8 ， 10 ，則這個三角形最長的邊上的高等於 （B）
A、6 B、4.8 C、5 D、8
例題2、有五根小木棒，其長度分別是 7,15,20,24,25，現將它們擺成如下圖所示的兩個直角三角形，其中正確的是 （C）
例題2圖
例題3、如圖，以 △ABC 的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別是 S1 , S2 , S3 ,如果 S3 = S1 + S2 ，試判定 △ABC 的形狀是什麼三角形？並說明理由。
例題3圖
答案：直角三角形。
理由：
∵ S3 = AC^2 , S2 = BC^2 , S1 = AB^2
又 ∵ S3 = S1 + S2
∴ AC^2 = BC^2 + AB^2
∴ △ABC 是直角三角形
例題4、在一次“探究性學習”課中，設計瞭如下圖所示的數表：
例題4圖（1）
請回答下列問題：
（1）分別探究 a , b , c 與 n 之間的關係，並且用含 n （n > 1）的式子表示：
a = ? , b = ? , c = ? ;
（2）猜想以 a , b , c 為邊長的三角形是否為直角三角形？並證明你的猜想 。
解：
（1）a = n^2 - 1 ；b = 2n ； c = n^2 + 1 ；
（2）以 a , b ,c 為邊長的三角形是直角三角形 。
理由如下：
∵ a^2 + b^2 = （n^2 - 1）^2 + （2n）^2 = n^4 + 2n^2 + 1
c^2 = （n^2 + 1）^2 = n^4 + 2n^2 + 1
∴ a^2 + b^2 = c^2
∴ 以 a , b , c 為邊長的三角形是直角三角形
例題5、如圖所示，點 P 是等邊三角形 ABC 內的一點，連接 PA , PB , PC ，以 BP 為邊作 ∠PBQ = 60°，且 BQ = BP ，連接 CQ。
請回答下列問題：
（1）觀察並猜想 AP 與 CQ 之間的大小關係，並證明你的結論 ；
（2）若 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 ，連接 PQ ，試判斷 △PQC 的形狀，並說明理由 。
例題5圖
解：
（1）AP = CQ 。
證明：
∵ △ABC 為等邊三角形
∴ AB = BC , ∠ABC = 60°
又 ∵ ∠PBQ = 60°， BQ = BP
∴ △PBQ 為等邊三角形
∴ ∠ABP = ∠CBQ
∴ △ABP ≌ △CBQ （SAS）
∴ AP = CQ
（2）△PQC 為直角三角形。
理由如下：
由 （1）得 AP = CQ ，PB = PQ
則 CQ : PQ : PC = 3 : 4 : 5 ，
從而 CQ^2 + PQ^2 = PC^2
所以 ∠PQC = 90°
所以 △PQC 為直角三角形
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