一、知识点总结
1、勾股定理逆定理
如果一个三角形的三边长分别是 a , b , c 且满足 a^2 + b^2 = c^2 ，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以用来判断一个三角形是否是直角三角形，也可以用来判断一个角是否是直角。
2、勾股数
满足 a^2 + b^2 = c^2 的三个 正整数 ，称为勾股数。
常见的勾股数组有：
常见的勾股数图
勾股数的性质及应用
① 勾股数组的整数倍仍然是勾股数组；（例：6,8,10；20,48,52等）
② 勾股数的倍数作为三边长的三角形也是直角三角形。
构造勾股数的重要方法
① 当 n 为大于 1 的奇数 ，则
构造勾股数的方法图（1）
② 当 n 为大于 2 的偶数 ， 则
构造勾股数的方法图（2）
3、判断一个 △ABC 是直角三角形的步骤：
① 首先确定最大的边 （一般常设为 c）；
② 验证 c^2 与 a^2 + b^2 是否具有相等关系，
如果 c^2 = a^2 + b^2 ，那么 △ABC 是以 ∠C 为直角的直角三角形；
如果 c^2 ≠ a^2 + b^2 ，那么 △ABC 不是直角三角形 。
二、典型例题
例题1、若一个三角形的三边长分别是 6 ， 8 ， 10 ，则这个三角形最长的边上的高等于 （B）
A、6 B、4.8 C、5 D、8
例题2、有五根小木棒，其长度分别是 7,15,20,24,25，现将它们摆成如下图所示的两个直角三角形，其中正确的是 （C）
例题2图
例题3、如图，以 △ABC 的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是 S1 , S2 , S3 ,如果 S3 = S1 + S2 ，试判定 △ABC 的形状是什么三角形？并说明理由。
例题3图
答案：直角三角形。
理由：
∵ S3 = AC^2 , S2 = BC^2 , S1 = AB^2
又 ∵ S3 = S1 + S2
∴ AC^2 = BC^2 + AB^2
∴ △ABC 是直角三角形
例题4、在一次“探究性学习”课中，设计了如下图所示的数表：
例题4图（1）
请回答下列问题：
（1）分别探究 a , b , c 与 n 之间的关系，并且用含 n （n > 1）的式子表示：
a = ? , b = ? , c = ? ;
（2）猜想以 a , b , c 为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想 。
解：
（1）a = n^2 - 1 ；b = 2n ； c = n^2 + 1 ；
（2）以 a , b ,c 为边长的三角形是直角三角形 。
理由如下：
∵ a^2 + b^2 = （n^2 - 1）^2 + （2n）^2 = n^4 + 2n^2 + 1
c^2 = （n^2 + 1）^2 = n^4 + 2n^2 + 1
∴ a^2 + b^2 = c^2
∴ 以 a , b , c 为边长的三角形是直角三角形
例题5、如图所示，点 P 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 PA , PB , PC ，以 BP 为边作 ∠PBQ = 60°，且 BQ = BP ，连接 CQ。
请回答下列问题：
（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论 ；
（2）若 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 ，连接 PQ ，试判断 △PQC 的形状，并说明理由 。
例题5图
解：
（1）AP = CQ 。
证明：
∵ △ABC 为等边三角形
∴ AB = BC , ∠ABC = 60°
又 ∵ ∠PBQ = 60°， BQ = BP
∴ △PBQ 为等边三角形
∴ ∠ABP = ∠CBQ
∴ △ABP ≌ △CBQ （SAS）
∴ AP = CQ
（2）△PQC 为直角三角形。
理由如下：
由 （1）得 AP = CQ ，PB = PQ
则 CQ : PQ : PC = 3 : 4 : 5 ，
从而 CQ^2 + PQ^2 = PC^2
所以 ∠PQC = 90°
所以 △PQC 为直角三角形
閱讀更多 尚老師數學 的文章
