本系列主要是《數字設計和計算機體系結構》和一些相關書籍的讀書筆記，並沒有專門為讀者的閱讀體驗認真做設計，敬請諒解（時間不多）。
下邊這些數字電路模塊是構成CPU的基礎，在瞭解CPU執行指令過程之前，需要把這些模塊的原理都搞清楚。
加法器
前邊說過處理單個二進制位相加的加法器：
但是我們使用的加法是好多位的，這也好說，把多個全加器串聯起來就好了：
從右到左看這個電路圖，這是一個32位二進制加法的電路圖。初始的時候進位為0，然後每一位相加的進位輸出當作高一位相加的進位輸入，這樣就跟接力棒一樣，以此經過各個全加器之後，最後 C31S31S30S29S28…S2S1S0 就是最後的加法結果。我們把這個電路畫個簡單的示意圖：
這種加法器由於需要先使用低位的加法器，把進位輸出當作高一位的進位輸入類似接力棒的方式傳遞進位，所以效率有點慢。後來人們又發明了些別的加法器電路，以求更快的實現二進制加法運算，比如先行進位加法器、行波進位加法器啥的，由於時間有限，我就不想看了，等以後時間充裕了再研究。
對於減法來說，某種程度上可以把它轉換成一種加法。比方說我們現在處理10以內的減法，比方說下邊這個式子：
5 - 2 = 3
其實這個減法可以轉換成這樣的寫法：
5 + (10 - 2) - 10 = 5 + 8 - 10
其中，2和8是相對於10的補數，a-b相當於a和b補數的和再減去進位。對於二進制減法，我們也可以用這個方式。比方說我們做4位二進制內的減法，比方說這樣
1001 - 0010 = 1001 + (10000 - 0010) - 10000
怎麼求一個給定位數的二進制數的補數呢？這個超級簡單：
- 先把一個二進制數的每一位都取反，比方說這樣0010的每一位都取反就是1101，
- 這樣0010 + 1101 = 1111，但是兩個互為補數的和是10000，所以讓取反後的結果再加1就好了，也就是0010的4位二進制補數就是1101 + 1 = 1110。
所以：
1001 - 0010 = 1001 + 1110 - 10000
用通俗一點的語言描述一下，比方說求A-B的結果，我們把B取反後的結果記為B，然後B的4為二進制數的補數就是B + 1。所以：
A - B = A + B + 1 - 10000
對於4位二進制數的加法，我們只有4個全加器，最後的進位會被放到C3中，我們只需要忽略這個最高位的進位，就相當於減去了10000。
所以我們可以這樣修改一下上邊的加法器來讓它可以做減法：
與上邊的加法器電路相比，改了兩個地方：
- 初始的進位輸入從0改為了1。
- 減數B會被取反。
那怎麼表示負數呢？-5不就是相當於0 - 5麼，也就是說負數相當於0和這個數對應的絕對值的減法，二進制的負數也是這個意思。0減去一個數相當於和這個數的補數相加後減去進位，0作為加數沒有什麼意義，也就是說負數相當於它的絕對值的補數減去進位。因為進位沒啥意義，我們不關心，所以一個負數就相當於它絕對值的補數。我們以4位二進制數為例，看看怎麼表示十進制數-5：
- 首先十進制數5用4位二進制數表示出來就是0101。
- 求0101的補數。先取反得1010，再加1，得1011。
也就是說這個十進制數-5用4位二進制數表示得結果就是1011。可是我們怎麼區別1011表示得是-5還是11呢？規定：首位為1的就是負數，首位為0得就是正數，這樣就成功的把負數表示出來了。
但是使用首位來區分正負數的話，4位二進制數就不能表示0 ~ 15這16個非負數了，表示範圍變成了-8~7。8位、16位、32位、64位的數值表示和減法運算都可以參照4位二進制數來計算。
比較器
對於兩個給定的輸入，我們怎麼知道這兩個給定的輸入是否完全相同呢？先把問題簡化一下，怎麼判斷兩個二進制位是否相同？我們可以規定：如果輸出為1則相同，為0則不相同。很容易想到這個異或門的定義：輸入相同得0，輸入不同得1：，所以我們使用異或非門（NXOR）就可以達到我們得目的：
如果需要比較得兩個輸入中分別有n位，那意味著只要n位中有一位比較輸出為0，那麼整個比較輸出就是0，很容易想到用與門來完成這個匯聚各個位比較結果的任務（以4位比較器為例）：
算術邏輯單元
不知道你有沒有覺得我們不知不覺學了好多電路模塊，現在我們提到加法器，只需要知道把輸入和輸出接上去，然後這個電路自動就幫我們把結果輸出來了，對於一個需要使用加法器得小朋友來說，他就不需要理解這個加法器內部到底是怎麼構造出來的，使用了哪些邏輯門，我們再一次強調抽象的好處：你不需要了解過多的實現細節，照著說明書（提供的接口）使用就行了。這個抽象的過程我們有時候也稱為封裝，用戶不關心某個模塊的內部實現，只需要調用這個模塊提供的接口就好。對於我們前邊說的一些電路模塊，我們想把它們再次進行一次抽象，以提供更簡單的使用接口，這就是我們所說的ALU（算術邏輯單元），直接看下邊這個ALU的一個實現電路圖：
這個電路共有5個輸入，可以被分為兩種類型
- 數據輸入，包括：輸入A和輸入B
- 控制輸入，包括：輸入F0、F1和F2，圖中F0和F1寫在了一起，以這種符號表示：F1:0。
這個所謂的ALU就是把各種運算模塊集中到了一起，用戶可以通過修改控制信號F0、F1和F2的輸入來控制對數據輸入A和B進行何種運算，各個控制信號對應的運算類型如下：
控制信號F2:0的值運算類型000A AND B001A OR B010A + B001未使用100A AND B101A AND B110A - B111判斷A＜B是否成立
我們以減法運算為例看一下上邊的ALU是怎麼工作的。從表格中可以看到，處理減法運算的控制信號為：F2=1，F1=1，F0=0。
- 當F2=1時，最上邊的2-1選擇器會輸出將信號B取反後的結果，並且加法器的進位輸入的值也為1。所以該加法器實際執行的是A - B的操作。
- 當F1=1，F0=0時，最下邊的4-1選擇器會選擇輸出加法器的運算輸出，也就是輸出Y=A - B。
其他類型的運算的道理是一樣的，就不一一推導了。最後再說一下，控制信號F2=1，F1=1，F0=1的情況表示判斷A＜B是否成立，如果A＜B成立，則Y=1，否則Y=0。這是怎麼做到的呢？還是利用了加法器做了A - B的操作，如果結果為負，意味著加法器的輸出的符號為為1，那圖中的0擴展的電路黑盒就是把符號位作為Y的最後一位，其他位補0的作用，所以當Y=1時意味著A＜B。反之當Y=0時，A＜B不成立。
所以之後我們再用到這個ALU時，就不用再考慮它裡邊複雜的電路是怎麼畫的了，只需要用下邊簡單的示意圖代替就好：
如此簡潔。。。抽象的強大作用，以後我們想做點簡單的運算時就可以直接把這個ALU給拿出來，輸入對應的數據和控制性好就可以得到我們的結果，而不用關心它裡邊用了啥神器的魔術，666666666。更復雜的ALU中需要的電路更多，控制信號也會更多，我們這個只是做個演示，讓大家知道原理的一個簡易版ALU。
移位器
我們編程序的時候會經常使用到下邊幾種移位操作：
- 左移：將所有二進制位向左移動若干位，在低位補0。
- 邏輯右移：將所有二進制位向右移動若干位，在高位補0。
- 算術右移：將所有二進制位向右移動若干位，在高位補與符號為相同的值，也就是正數的算數右移高位補0，負數的算數右移高位補1。
下邊以4位二進制數的左移為例來看一下電路圖：
A3A2A1A0是我們指定的4位二進制數，shamt1:0是我們需要左移的位數，它連接著下邊的4個4-1選擇器。大家可以自己分析一下當移動位數從0～3的這幾種情況分別會發生什麼。
乘法器
二進制乘法比十進制乘法更加簡單，因為我們都不用再背九九乘法表，它的單個位相乘的運算規則超級簡單：
×01000101
這樣的規律和與門的運算是一樣一樣的，所以我們可以很輕易的使用與門去完成單個位的乘法運算。對於多個位相乘的運算只不過是在重複但個位的運算規律而已，如下：
0100和0101分別代表十進制的4和5，最後的結果1010代表十進制的20。4位二進制相乘的通用示意圖可以這樣表示：
結果就是P7P6P5P4P3P2P1P0。下邊是一個電路實現：
是的，很複雜，當位數多一點的話更復雜，所以計算乘法的時候還是比較耗時的。
除法器
除法器更麻煩，就不說了。反正最終還是可以通過電路實現的，我們調用接口就好了（抽象的好處～）。
計數器
有時候我們需要計數，也就是數數，0，1，2，3，4，5，6…可以使用下邊這個電路：
其中復位信號是讓寄存器R1的輸出Q為0，然後每當時鐘上升沿到來時，加法器的輸出值都加1。也就是說這個電路可以對時鐘週期進行計數。這個很有用。
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