几乎所有受过初等教育的人， 都知道在牛顿力学中， 质量是决定物体惯性和引力的基本物理量， 是一个不可约 (irreducible) 的概念。 不可约概念顾名思义， 就是不需要也不能够约化为更基本的概念的。我们知道， 在大约两百年的时间里， 牛顿力学被认为是描述物理世界的基本框架， 这就是所谓的机械观 (mechanical worldview)。 在那段时间里， 物理学家们曾经试图把物理学的各个分支尽可能地约化为力学。 很显然， 在那样一个以机械观为主导的时期里， 质量既然是力学中的不可约概念， 自然也就成为了整个物理学中的不可约概念。因此有关质量起源的研究在那个时期是基本不存在的。
但是到了 19 世纪末的时候， 试图把物理学的各个分支约化为力学的努力遭到了很大的挫折。 这种挫折首先来自于电磁理论。 大家知道， 电磁理论预言了电磁波。 按照机械观， 波的传播必然有相应的介质。 但电磁波是在什么介质中传播的呢？ 却是谁也不知道。 尽管如此， 物理学家们还是按照机械观的思路假设了这种介质的存在， 并称之为 “以太” (aether)。 但不幸的是， 所有试图为以太构筑机械模型的努力全都在实验面前遭遇了滑铁卢。 在那段最终催生了狭义相对论的物理学阵痛期里， 许多物理学家艰难地试图调和着实验与机械以太模型之间的矛盾。 但与那些挽救机械观的努力同时， 一种与机械观截然相反的思路也萌发了起来， 那便是电磁观 (electromagnetic worldview)。 电磁观的思路是： 物理学上并没有什么先验的理由要求我们用力学的框架来描述自然， 机械观的产生只不过是因为力学在很长一个时期里是发展最为成熟的物理学分支而已， 现在电磁理论也发展到了不亚于力学的成熟程度， 既然无法把电磁理论约化为力学， 那何不反过来把力学约化为电磁理论呢？
要想把力学约化为电磁理论， 一个很关键的步骤就是把力学中的不可约概念——质量——约化为电磁概念， 这是物理学家们研究质量起源的第一种定量尝试。 由于当时对物质的微观结构还知之甚少， 1897 年由 Joseph John Thomson (1856-1940) 所发现的电子是当时所知的唯一的基本粒子， 因此将质量约化为电磁概念的努力就集中体现在了对电子的研究上， 由此产生了物理史上昙花一现的经典电子论 (classical electron theory)。
经典电子论最著名的人物是荷兰物理学家 Hendrik Lorentz (1853-1928)， 他是一位经典物理学的大师。 在相对论诞生之前的那几年里， Lorentz 虽已年届半百， 却依然才思敏捷。 1904 年， Lorentz 发表了一篇题为 “任意亚光速运动系统中的电磁现象” (Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Less than that of Light) 的文章。 在这篇文章中他运用自己此前几年在研究运动系统的电磁理论时所提出的包括长度收缩 (length contraction)、 局域时间 (local time) 在内的一系列假设， 计算了具有均匀面电荷分布的运动电子的电磁动量， 由此得到电子的横质量 mT 与纵质量 mL 分别为 (这里用的是 Gauss 单位制)：
mT = (2/3)(e2/Rc2)γ； mL = (2/3)(e2/Rc2)γ3
其中 e 为电子的电荷， R 为电子在静止参照系中的半径， c 为光速， γ=(1-v2/c2)-1/2。 撇开系数不论， Lorentz 这两个结果所包含的质量与速度的关系与后来的狭义相对论完全相同。
但 Lorentz 的文章刚一发表就遭到了经典电子论的另一位主要人物 Max Abraham (1875-1922) 的批评。 Abraham 指出， 质量除了象 Lorentz 那样通过动量来定义， 还应该可以通过能量来定义。 比方说纵质量可以定义为 mL=(1/v)(dE/dv)。 但简单的计算表明， 用这种方法得到的质量与 Lorentz 的结果完全不同。
这说明 Lorentz 的电子论是有缺陷的。 那么缺陷在哪里呢？ Abraham 认为是 Lorentz 的计算忽略了为平衡电子内部各电荷元之间的相互排斥所必需的张力。 没有那样的张力， Lorentz 的电子会在各电荷元的相互排斥下土崩瓦解。 除 Abraham 外， 另一位经典物理学大师 Henri Poincaré (1854-1912) 也注意到了 Lorentz 电子论的这一问题。 Poincaré 与 Lorentz 是 Einstein 之前在定量结果上最接近狭义相对论的物理学家。 不过比较而言， Lorentz 的工作更为直接， 为了调和以太理论与实验的矛盾， 他提出了许多具体的假设， 而 Poincaré 往往是在从美学与哲学角度审视 Lorentz 及其他人的工作时对那些工作进行修饰及完善。 这也很符合这两人的特点， Lorentz 是一位第一流的工作型物理学家 (working physicist)， 而 Poincaré 既是第一流的数学及物理学家， 又是第一流的科学哲学家。 在 1904 至 1906 年间， Poincaré 亲自对 Lorentz 电子论进行了研究， 并定量地引进了为维持电荷平衡所需的张力， 这种张力因此而被称为了 Poincaré 张力 (Poincaré stress)。 在 Poincaré 工作的基础上， 1911 年 (即在 Einstein 与 Minkowski 建立了狭义相对论的数学框架之后)， 德国物理学家 Max von Laue (1879-1960) 证明了带有 Poincaré 张力的电子的能量动量具有正确的 Lorentz 变换规律。
下面我们用现代语言来简单叙述一下经典电子论有关电子结构的这些主要结果。 按照狭义相对论中最常用的约定， 我们引进两个惯性参照系： S 与 S'， S' 相对于 S 沿 x 轴以速度 v 运动。 假定电子在 S 系中静止， 则在 S' 系中电子的动量为：
p'μ = ∫t'=0T'0μ(x'ξ)d3x' = L0αLμβ∫Tαβ(xξ)d3x'
其中 T 为电子的总能量动量张量， L 为 Lorentz 变换矩阵。 由于 S 系中 Tαβ 与 t 无关， 考虑到：
∫Tαβ(xξ)d3x' = ∫Tαβ(γx', y', z')d3x' = γ-1∫Tαβ(xξ)d3x
上式可改写为：
p'μ = γ-1L0αLμβ∫Tαβ(xξ)d3x
由此得到电子的能量与动量分别为：
E = p'0 = γm + γ-1L0iL0j∫Tij(xξ)d3x
p = p'1 = γvm + γ-1L0iL1j∫Tij(xξ)d3x
这里 i, j 的取值范围为空间指标 1, 2, 3， m=∫T00(xξ)d3x， 为了简化结果， 我们取 c=1。 显然， 由这两个式子的第一项所给出的能量动量是狭义相对论所需要的， 而 Lorentz 电子论的问题就在于当 Tμν 只包含纯电磁能量动量张量 TEMμν 时这两个式子的第二项非零。
那么 Poincaré 张力为什么能避免 Lorentz 电子论的这一问题呢？ 关键在于引进 Poincaré 张力后电子才成为一个满足力密度 fμ=∂νTμν=0 的孤立平衡体系。 在电子静止系 S 中 Tμν 不含时间， 因此 ∂jTij=0。 由此可以得到一个很有用的关系式 (请读者自行证明)： ∂k(Tikxj)=Tij。 对这个式子做体积分， 注意到左边的积分为零， 便可得到：
∫Tij(xξ)d3x =0
这个结果被称为 von Laue 定理 (von Laue's theorem)， 它表明我们上面给出的电子能量动量表达式中的第二项为零。 因此 Poincaré 张力的引进非常漂亮地保证了电子能量动量的协变性。
至此， 经过 Lorentz， Poincaré， Laue 等人的工作， 经典电子论似乎达到了一个颇为优美的境界， 既维持了电子的稳定性， 又满足了能量动量的协变性。 但事实上， 在这一系列工作完成时经典电子论对电子结构的描述已经处在了一个看似完善， 实则没落的境地。 这其中的一个原因便是那个 “非常漂亮地” 保证了电子能量动量协变性的 Poincaré 张力。 这个张力究竟是什么？ 我们几乎一无所知。 更糟糕的是， 若真的完全一无所知倒也罢了， 我们却偏偏还知道一点， 那就是 Poincaré 张力必须是非电磁起源的 (因为它的作用是抗衡电磁相互作用)， 而这恰恰是对电磁观的一个沉重打击。
就这样， 试图把质量约化为纯电磁概念的努力由于必须引进非电磁起源的 Poincaré 张力而化为了泡影。 但这对于很快到来的经典电子论及电磁观的整体没落来说还只是一个很次要的原因。
经典电子论的没落是物理学史上最富宿命色彩的事件。 这一宿命的由来是因为电子发现得太晚， 而量子理论又出现得太早， 这就注定了夹在其间， 因 “电子” 而始、 逢 “量子” 而终的经典电子论只能有一个昙花一现的命运。 为它陪葬而终还有建立在经典电磁理论基础上的整个电磁观。
量子理论对经典物理学的冲击是全方位的， 足可写成一部壮丽的史诗。 就经典电子论中有关电子结构的部分而言， 对这种冲击最简单的启发性描述来自于所谓的不确定原理 (uncertainty principle)。 如我们在 上一节 中看到的， 经典电子论给出的电子质量——除去一个与电荷分布有关的数量级为 1 的因子——约为 e2/Rc2。 由此可以很容易地估算出 R~10-15 米 。 这被称为电子的经典半径。 但是从不确定原理的角度看， 对电子的空间定位精度只能达到电子的 Compton 波长 h/mc~R/α~10-12米的量级 (其中 α≈1/137 为精细结构常数)， 把电子视为经典电荷分布的做法只有在空间尺度远大于这一量级的情形下才适用。 由于电子的经典半径远远小于这一尺度， 这表明经典电子论并不适用于描述电子的结构。 建立在经典电子论基础上的电子质量计算也因此而失去了理论基础。
但是经典电子论对电子质量的计算虽然随着量子理论的出现而丧失了理论基础， 那种计算所体现的相互作用对电子质量具有贡献的思想却是合理的， 并在量子理论中得到了保留。 这种贡献被称为电子自能 (electron self energy)。 在量子理论基础上对电子自能的计算最早是由瑞典物理学家 Ivar Waller (1898-1991) 于 1930 年在单电子 Dirac 理论的基础上给出的， 结果随虚光子动量的平方而发散。 1934 年奥地利裔美国物理学家 Victor Weisskopf (1908-2002) 计算了 Dirac 空穴理论 (hole theory) 下的电子自能， 结果发现其发散速度比 Waller 给出的慢得多， 只随虚光子动量的对数而发散。 撇开当时那些计算所具有的诸多缺陷不论， Weisskopf 的这一结果在定性上是与现代量子场论一致的。
对这一单圈图的计算在任何一本量子场论教材中都有详细介绍， 其结果为 δm~αmln(Λ/m)， 其中 m 为出现在量子电动力学 Lagrangian 中的电子质量参数， 被称为裸质量 (bare mass)， Λ 为虚光子动量的截断 (cut-off) 能标。 如果我们把量子电动力学的适用范围无限外推， 允许虚光子具有任意大的动量， 则 δm 将趋于无穷， 这便是自二十世纪三四十年代起困扰物理学界几十年之久的量子场论发散困难的一个例子。按照现代量子场论， 相互作用对电子自能的贡献可以用对电子传播子产生贡献的单粒子不可约图 (one-particle irreducible diagrams) 来描述， 其中主要部分来自由量子电动力学 (Quantum Electrodynamics， 简称 QED) 所描述的电磁自能， 而电磁自能中最简单的贡献则来自于如右图所示的单圈图。 幸运的是， 由于量子电动力学的耦合常数在所有实验所及的能区都很小， 因此这个最简单的单圈图的贡献在整个电子自能中占了主要部分。
量子场论中的发散困难， 究其根本是由所谓的点粒子模型引起的。 这种发散具有相当的普遍性， 不单单出现在量子场论中。 将经典电子论运用于点电子模型同样会出现发散， 这一点从经典电子论的电子质量公式 m~e2/Rc2 中可以清楚地看到： 当电子半径 R 趋于零时质量 m 趋于无穷。 经典电子论通过引进电子的有限半径 (从而放弃点粒子模型) 免除了这一发散， 但伴随而来的 Poincaré 张力、 电荷分布等概念却在很大程度上使电子丧失了基本粒子应有的简单性。 这种简单性虽没有先验的理由， 但毫无疑问是人们引进基本粒子这一概念时怀有的一种美学上的期待， 正如 Dirac 所说： “电子太简单， 支配其结构的定律根本不应该成为问题”。 经典电子论将质量约化为电磁概念的努力即便在其它方面都成功了， 其意义也将由于引进电子半径这一额外参数及 Poincaré 张力、 电荷分布等额外假设而大为失色。 从这一角度上讲， 量子电动力学在概念约化上比经典电子论显得更为彻底， 因为在量子电动力学的 Lagrangian 中不含有任何与基本粒子结构有关的几何参数。 基本粒子在量子场论中是以点粒子的形式出现的， 虽然这并不意味着它们不具有唯象意义上的等效结构， 但所有那些结构都是作为理论的结果而不是如经典电子论中那样作为额外假设而出现的， 这是除与狭义相对论及量子理论同时兼容， 与实验高度相符之外， 建立在点粒子模型基础上的量子场论又一个明显优于经典电子论的地方。
至于由此产生的发散困难， 在 20 世纪 70 年代之后随着重整化 (renomalization) 方法的成熟而得到了较为系统的解决。 不过尽管人们对重整化方法在数学计算及物理意义的理解上都已相当成熟， 发散性的出现在很多物理学家眼里仍基本消除了传统量子场论成为所谓 “终极理论” (Theory of Everything) 的可能性， 这是后话。
既然量子电动力学与经典电子论一样具有电子自能， 那它能否代替经典电子论实现后者没能实现的把质量完全约化为电磁概念的梦想呢？ 很可惜， 答案是否定的。
这可以从两方面看出来。
首先， 从 δm~αmln(Λ/m) 中可以看到， 由电磁自能产生的质量修正 δm 与裸质量 m 的比值为 αln(Λ/m)。 由于 α≈1/137 是一个比较小的数目， ln(Λ/m) 又是一个增长极其缓慢的函数， 因此对于任何 Planck 能标以下的截断， ln(Λ/m) 都是一个比较小的数目 (特别是， 这一数目小于 1)。 这意味着由电磁自能产生的质量修正是比较小的——比裸质量更小。
另一方面， 即便我们一厢情愿地把量子电动力学的适用范围延伸到比 Planck 能标还高得多的能区， 从而使 δm 变得很大， 把质量完全约化为电磁概念的梦想依然无法实现。 因为电子的电磁自能还有一个很要命的特点， 那就是 δm∝m。 这表明， 无论把截断能标取得多大， 如果裸质量为零， 电子的电磁自能也将为零。 因此， 为了解释电子质量， 裸质量不能为零， 而裸质量作为量子电动力学 Lagrangian 中的参数， 在量子电动力学的范围之内是无法约化的， 从而终结了在量子电动力学中把质量完全约化为电磁概念的梦想。
有的读者可能会问： 电磁自能既然是由电磁相互作用引起的， 理应只与电荷有关， 为什么却会正比于裸质量呢？ 这其中的奥妙在于对称性。 量子电动力学的 Lagrangian：
L = -(1/4)FμνFμν + ψ(iγμ∂μ-m)ψ -eψγμAμψ
在 m=0 时具有一种额外的对称性， 即在 ψ→eiαγ5ψ 下不变 (请有兴趣的读者自行证明)。 这种对称性被称为手征对称性 (chiral symmetry)， 它表明在 m=0 的情形下电子的左右手征态：
ψL = [(1-γ5)/2] ψ, ψR = [(1+γ5)/2] ψ
不会互相耦合。 另一方面， (读者可以很容易地证明) 电子的质量项
mψψ = mψLψR + mψRψL
却是一个电子左右手征态相互耦合， 从而破坏手征对称性的项。 这样的项在电子的裸质量不存在——从而量子电动力学的 Lagrangian 具有手征对称性——的情况下将被手征对称性所禁止， 不可能出现在任何微扰修正中。 因此 δm∝mln(Λ/m) 这一结果的出现是很自然的[注七]。
至此我们看到， 试图把质量完全归因于电磁相互作用的想法在量子理论中彻底地破灭了。 电磁质量即便在像电子这样质量最小——从某种意义上讲也最为纯粹——的带电粒子的质量中也只占一个不大的比例， 在其它粒子——尤其是那些不带电荷的基本粒子——中就更甭提了。
很显然， 质量的主要来源必须到别处去寻找。
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