幾乎所有受過初等教育的人， 都知道在牛頓力學中， 質量是決定物體慣性和引力的基本物理量， 是一個不可約 (irreducible) 的概念。 不可約概念顧名思義， 就是不需要也不能夠約化為更基本的概念的。我們知道， 在大約兩百年的時間裡， 牛頓力學被認為是描述物理世界的基本框架， 這就是所謂的機械觀 (mechanical worldview)。 在那段時間裡， 物理學家們曾經試圖把物理學的各個分支儘可能地約化為力學。 很顯然， 在那樣一個以機械觀為主導的時期裡， 質量既然是力學中的不可約概念， 自然也就成為了整個物理學中的不可約概念。因此有關質量起源的研究在那個時期是基本不存在的。
但是到了 19 世紀末的時候， 試圖把物理學的各個分支約化為力學的努力遭到了很大的挫折。 這種挫折首先來自於電磁理論。 大家知道， 電磁理論預言了電磁波。 按照機械觀， 波的傳播必然有相應的介質。 但電磁波是在什麼介質中傳播的呢？ 卻是誰也不知道。 儘管如此， 物理學家們還是按照機械觀的思路假設了這種介質的存在， 並稱之為 “以太” (aether)。 但不幸的是， 所有試圖為以太構築機械模型的努力全都在實驗面前遭遇了滑鐵盧。 在那段最終催生了狹義相對論的物理學陣痛期裡， 許多物理學家艱難地試圖調和著實驗與機械以太模型之間的矛盾。 但與那些挽救機械觀的努力同時， 一種與機械觀截然相反的思路也萌發了起來， 那便是電磁觀 (electromagnetic worldview)。 電磁觀的思路是： 物理學上並沒有什麼先驗的理由要求我們用力學的框架來描述自然， 機械觀的產生只不過是因為力學在很長一個時期裡是發展最為成熟的物理學分支而已， 現在電磁理論也發展到了不亞於力學的成熟程度， 既然無法把電磁理論約化為力學， 那何不反過來把力學約化為電磁理論呢？
要想把力學約化為電磁理論， 一個很關鍵的步驟就是把力學中的不可約概念——質量——約化為電磁概念， 這是物理學家們研究質量起源的第一種定量嘗試。 由於當時對物質的微觀結構還知之甚少， 1897 年由 Joseph John Thomson (1856-1940) 所發現的電子是當時所知的唯一的基本粒子， 因此將質量約化為電磁概念的努力就集中體現在了對電子的研究上， 由此產生了物理史上曇花一現的經典電子論 (classical electron theory)。
經典電子論最著名的人物是荷蘭物理學家 Hendrik Lorentz (1853-1928)， 他是一位經典物理學的大師。 在相對論誕生之前的那幾年裡， Lorentz 雖已年屆半百， 卻依然才思敏捷。 1904 年， Lorentz 發表了一篇題為 “任意亞光速運動系統中的電磁現象” (Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Less than that of Light) 的文章。 在這篇文章中他運用自己此前幾年在研究運動系統的電磁理論時所提出的包括長度收縮 (length contraction)、 局域時間 (local time) 在內的一系列假設， 計算了具有均勻面電荷分佈的運動電子的電磁動量， 由此得到電子的橫質量 mT 與縱質量 mL 分別為 (這裡用的是 Gauss 單位制)：
mT = (2/3)(e2/Rc2)γ； mL = (2/3)(e2/Rc2)γ3
其中 e 為電子的電荷， R 為電子在靜止參照系中的半徑， c 為光速， γ=(1-v2/c2)-1/2。 撇開係數不論， Lorentz 這兩個結果所包含的質量與速度的關係與後來的狹義相對論完全相同。
但 Lorentz 的文章剛一發表就遭到了經典電子論的另一位主要人物 Max Abraham (1875-1922) 的批評。 Abraham 指出， 質量除了象 Lorentz 那樣通過動量來定義， 還應該可以通過能量來定義。 比方說縱質量可以定義為 mL=(1/v)(dE/dv)。 但簡單的計算表明， 用這種方法得到的質量與 Lorentz 的結果完全不同。
這說明 Lorentz 的電子論是有缺陷的。 那麼缺陷在哪裡呢？ Abraham 認為是 Lorentz 的計算忽略了為平衡電子內部各電荷元之間的相互排斥所必需的張力。 沒有那樣的張力， Lorentz 的電子會在各電荷元的相互排斥下土崩瓦解。 除 Abraham 外， 另一位經典物理學大師 Henri Poincaré (1854-1912) 也注意到了 Lorentz 電子論的這一問題。 Poincaré 與 Lorentz 是 Einstein 之前在定量結果上最接近狹義相對論的物理學家。 不過比較而言， Lorentz 的工作更為直接， 為了調和以太理論與實驗的矛盾， 他提出了許多具體的假設， 而 Poincaré 往往是在從美學與哲學角度審視 Lorentz 及其他人的工作時對那些工作進行修飾及完善。 這也很符合這兩人的特點， Lorentz 是一位第一流的工作型物理學家 (working physicist)， 而 Poincaré 既是第一流的數學及物理學家， 又是第一流的科學哲學家。 在 1904 至 1906 年間， Poincaré 親自對 Lorentz 電子論進行了研究， 並定量地引進了為維持電荷平衡所需的張力， 這種張力因此而被稱為了 Poincaré 張力 (Poincaré stress)。 在 Poincaré 工作的基礎上， 1911 年 (即在 Einstein 與 Minkowski 建立了狹義相對論的數學框架之後)， 德國物理學家 Max von Laue (1879-1960) 證明了帶有 Poincaré 張力的電子的能量動量具有正確的 Lorentz 變換規律。
下面我們用現代語言來簡單敘述一下經典電子論有關電子結構的這些主要結果。 按照狹義相對論中最常用的約定， 我們引進兩個慣性參照系： S 與 S'， S' 相對於 S 沿 x 軸以速度 v 運動。 假定電子在 S 系中靜止， 則在 S' 系中電子的動量為：
p'μ = ∫t'=0T'0μ(x'ξ)d3x' = L0αLμβ∫Tαβ(xξ)d3x'
其中 T 為電子的總能量動量張量， L 為 Lorentz 變換矩陣。 由於 S 系中 Tαβ 與 t 無關， 考慮到：
∫Tαβ(xξ)d3x' = ∫Tαβ(γx', y', z')d3x' = γ-1∫Tαβ(xξ)d3x
上式可改寫為：
p'μ = γ-1L0αLμβ∫Tαβ(xξ)d3x
由此得到電子的能量與動量分別為：
E = p'0 = γm + γ-1L0iL0j∫Tij(xξ)d3x
p = p'1 = γvm + γ-1L0iL1j∫Tij(xξ)d3x
這裡 i, j 的取值範圍為空間指標 1, 2, 3， m=∫T00(xξ)d3x， 為了簡化結果， 我們取 c=1。 顯然， 由這兩個式子的第一項所給出的能量動量是狹義相對論所需要的， 而 Lorentz 電子論的問題就在於當 Tμν 只包含純電磁能量動量張量 TEMμν 時這兩個式子的第二項非零。
那麼 Poincaré 張力為什麼能避免 Lorentz 電子論的這一問題呢？ 關鍵在於引進 Poincaré 張力後電子才成為一個滿足力密度 fμ=∂νTμν=0 的孤立平衡體系。 在電子靜止系 S 中 Tμν 不含時間， 因此 ∂jTij=0。 由此可以得到一個很有用的關係式 (請讀者自行證明)： ∂k(Tikxj)=Tij。 對這個式子做體積分， 注意到左邊的積分為零， 便可得到：
∫Tij(xξ)d3x =0
這個結果被稱為 von Laue 定理 (von Laue's theorem)， 它表明我們上面給出的電子能量動量表達式中的第二項為零。 因此 Poincaré 張力的引進非常漂亮地保證了電子能量動量的協變性。
至此， 經過 Lorentz， Poincaré， Laue 等人的工作， 經典電子論似乎達到了一個頗為優美的境界， 既維持了電子的穩定性， 又滿足了能量動量的協變性。 但事實上， 在這一系列工作完成時經典電子論對電子結構的描述已經處在了一個看似完善， 實則沒落的境地。 這其中的一個原因便是那個 “非常漂亮地” 保證了電子能量動量協變性的 Poincaré 張力。 這個張力究竟是什麼？ 我們幾乎一無所知。 更糟糕的是， 若真的完全一無所知倒也罷了， 我們卻偏偏還知道一點， 那就是 Poincaré 張力必須是非電磁起源的 (因為它的作用是抗衡電磁相互作用)， 而這恰恰是對電磁觀的一個沉重打擊。
就這樣， 試圖把質量約化為純電磁概念的努力由於必須引進非電磁起源的 Poincaré 張力而化為了泡影。 但這對於很快到來的經典電子論及電磁觀的整體沒落來說還只是一個很次要的原因。
經典電子論的沒落是物理學史上最富宿命色彩的事件。 這一宿命的由來是因為電子發現得太晚， 而量子理論又出現得太早， 這就註定了夾在其間， 因 “電子” 而始、 逢 “量子” 而終的經典電子論只能有一個曇花一現的命運。 為它陪葬而終還有建立在經典電磁理論基礎上的整個電磁觀。
量子理論對經典物理學的衝擊是全方位的， 足可寫成一部壯麗的史詩。 就經典電子論中有關電子結構的部分而言， 對這種衝擊最簡單的啟發性描述來自於所謂的不確定原理 (uncertainty principle)。 如我們在 上一節 中看到的， 經典電子論給出的電子質量——除去一個與電荷分佈有關的數量級為 1 的因子——約為 e2/Rc2。 由此可以很容易地估算出 R~10-15 米 。 這被稱為電子的經典半徑。 但是從不確定原理的角度看， 對電子的空間定位精度只能達到電子的 Compton 波長 h/mc~R/α~10-12米的量級 (其中 α≈1/137 為精細結構常數)， 把電子視為經典電荷分佈的做法只有在空間尺度遠大於這一量級的情形下才適用。 由於電子的經典半徑遠遠小於這一尺度， 這表明經典電子論並不適用於描述電子的結構。 建立在經典電子論基礎上的電子質量計算也因此而失去了理論基礎。
但是經典電子論對電子質量的計算雖然隨著量子理論的出現而喪失了理論基礎， 那種計算所體現的相互作用對電子質量具有貢獻的思想卻是合理的， 並在量子理論中得到了保留。 這種貢獻被稱為電子自能 (electron self energy)。 在量子理論基礎上對電子自能的計算最早是由瑞典物理學家 Ivar Waller (1898-1991) 於 1930 年在單電子 Dirac 理論的基礎上給出的， 結果隨虛光子動量的平方而發散。 1934 年奧地利裔美國物理學家 Victor Weisskopf (1908-2002) 計算了 Dirac 空穴理論 (hole theory) 下的電子自能， 結果發現其發散速度比 Waller 給出的慢得多， 只隨虛光子動量的對數而發散。 撇開當時那些計算所具有的諸多缺陷不論， Weisskopf 的這一結果在定性上是與現代量子場論一致的。
對這一單圈圖的計算在任何一本量子場論教材中都有詳細介紹， 其結果為 δm~αmln(Λ/m)， 其中 m 為出現在量子電動力學 Lagrangian 中的電子質量參數， 被稱為裸質量 (bare mass)， Λ 為虛光子動量的截斷 (cut-off) 能標。 如果我們把量子電動力學的適用範圍無限外推， 允許虛光子具有任意大的動量， 則 δm 將趨於無窮， 這便是自二十世紀三四十年代起困擾物理學界幾十年之久的量子場論發散困難的一個例子。按照現代量子場論， 相互作用對電子自能的貢獻可以用對電子傳播子產生貢獻的單粒子不可約圖 (one-particle irreducible diagrams) 來描述， 其中主要部分來自由量子電動力學 (Quantum Electrodynamics， 簡稱 QED) 所描述的電磁自能， 而電磁自能中最簡單的貢獻則來自於如右圖所示的單圈圖。 幸運的是， 由於量子電動力學的耦合常數在所有實驗所及的能區都很小， 因此這個最簡單的單圈圖的貢獻在整個電子自能中佔了主要部分。
量子場論中的發散困難， 究其根本是由所謂的點粒子模型引起的。 這種發散具有相當的普遍性， 不單單出現在量子場論中。 將經典電子論運用於點電子模型同樣會出現發散， 這一點從經典電子論的電子質量公式 m~e2/Rc2 中可以清楚地看到： 當電子半徑 R 趨於零時質量 m 趨於無窮。 經典電子論通過引進電子的有限半徑 (從而放棄點粒子模型) 免除了這一發散， 但伴隨而來的 Poincaré 張力、 電荷分佈等概念卻在很大程度上使電子喪失了基本粒子應有的簡單性。 這種簡單性雖沒有先驗的理由， 但毫無疑問是人們引進基本粒子這一概念時懷有的一種美學上的期待， 正如 Dirac 所說： “電子太簡單， 支配其結構的定律根本不應該成為問題”。 經典電子論將質量約化為電磁概念的努力即便在其它方面都成功了， 其意義也將由於引進電子半徑這一額外參數及 Poincaré 張力、 電荷分佈等額外假設而大為失色。 從這一角度上講， 量子電動力學在概念約化上比經典電子論顯得更為徹底， 因為在量子電動力學的 Lagrangian 中不含有任何與基本粒子結構有關的幾何參數。 基本粒子在量子場論中是以點粒子的形式出現的， 雖然這並不意味著它們不具有唯象意義上的等效結構， 但所有那些結構都是作為理論的結果而不是如經典電子論中那樣作為額外假設而出現的， 這是除與狹義相對論及量子理論同時兼容， 與實驗高度相符之外， 建立在點粒子模型基礎上的量子場論又一個明顯優於經典電子論的地方。
至於由此產生的發散困難， 在 20 世紀 70 年代之後隨著重整化 (renomalization) 方法的成熟而得到了較為系統的解決。 不過儘管人們對重整化方法在數學計算及物理意義的理解上都已相當成熟， 發散性的出現在很多物理學家眼裡仍基本消除了傳統量子場論成為所謂 “終極理論” (Theory of Everything) 的可能性， 這是後話。
既然量子電動力學與經典電子論一樣具有電子自能， 那它能否代替經典電子論實現後者沒能實現的把質量完全約化為電磁概念的夢想呢？ 很可惜， 答案是否定的。
這可以從兩方面看出來。
首先， 從 δm~αmln(Λ/m) 中可以看到， 由電磁自能產生的質量修正 δm 與裸質量 m 的比值為 αln(Λ/m)。 由於 α≈1/137 是一個比較小的數目， ln(Λ/m) 又是一個增長極其緩慢的函數， 因此對於任何 Planck 能標以下的截斷， ln(Λ/m) 都是一個比較小的數目 (特別是， 這一數目小於 1)。 這意味著由電磁自能產生的質量修正是比較小的——比裸質量更小。
另一方面， 即便我們一廂情願地把量子電動力學的適用範圍延伸到比 Planck 能標還高得多的能區， 從而使 δm 變得很大， 把質量完全約化為電磁概念的夢想依然無法實現。 因為電子的電磁自能還有一個很要命的特點， 那就是 δm∝m。 這表明， 無論把截斷能標取得多大， 如果裸質量為零， 電子的電磁自能也將為零。 因此， 為了解釋電子質量， 裸質量不能為零， 而裸質量作為量子電動力學 Lagrangian 中的參數， 在量子電動力學的範圍之內是無法約化的， 從而終結了在量子電動力學中把質量完全約化為電磁概念的夢想。
有的讀者可能會問： 電磁自能既然是由電磁相互作用引起的， 理應只與電荷有關， 為什麼卻會正比於裸質量呢？ 這其中的奧妙在於對稱性。 量子電動力學的 Lagrangian：
L = -(1/4)FμνFμν + ψ(iγμ∂μ-m)ψ -eψγμAμψ
在 m=0 時具有一種額外的對稱性， 即在 ψ→eiαγ5ψ 下不變 (請有興趣的讀者自行證明)。 這種對稱性被稱為手徵對稱性 (chiral symmetry)， 它表明在 m=0 的情形下電子的左右手徵態：
ψL = [(1-γ5)/2] ψ, ψR = [(1+γ5)/2] ψ
不會互相耦合。 另一方面， (讀者可以很容易地證明) 電子的質量項
mψψ = mψLψR + mψRψL
卻是一個電子左右手徵態相互耦合， 從而破壞手徵對稱性的項。 這樣的項在電子的裸質量不存在——從而量子電動力學的 Lagrangian 具有手徵對稱性——的情況下將被手徵對稱性所禁止， 不可能出現在任何微擾修正中。 因此 δm∝mln(Λ/m) 這一結果的出現是很自然的[注七]。
至此我們看到， 試圖把質量完全歸因於電磁相互作用的想法在量子理論中徹底地破滅了。 電磁質量即便在像電子這樣質量最小——從某種意義上講也最為純粹——的帶電粒子的質量中也只佔一個不大的比例， 在其它粒子——尤其是那些不帶電荷的基本粒子——中就更甭提了。
很顯然， 質量的主要來源必須到別處去尋找。
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