代廣寒
計算從1開始的連續正整數的平方和，是有公式的。
我們可以用數學歸納法來證明。在前面的問答中，我講到過數學歸納法可以證明與正整數n有關的等式。數學歸納法的原理可以想象成多米諾骨牌。
經驗證，n=1時，公式是成立的。我們需要證明遞推關係成立，也就是假設n等於k時公示成立，n等於k+1時公式依然成立。具體證明過程請看下圖。
在計算的過程中，大家要特別細心。我們通過數學歸納法，證明了公式成立。
請大家回到文章開頭看一下我用藍筆寫的公式，這個公式畢竟不是特別直觀。下面我用另外一種方法來推導這個公式。初中生應該學到了立方和與立方差公式，下面我從立方差公式入手，進行推導。
立方差公式用語言表述為：兩數的平方和加上兩數的積，再乘以兩數的差，所得的積就等於兩數的立方差。也就是下面這個公式。
我們先從兩個相差為1的兩個數入手，來尋找解題思路。
這個計算過程同樣需要細心，因為在移項，通分，去括號等計算過程中是很容易出現錯誤的。
大家發現沒有，這個證明過程雖然很巧妙，但還是不太直觀。還有什麼別的方法嗎。下面我再為大家推薦一種方法，表格分析法。請大家看下面這個表格。
大家有沒有什麼發現呢，是不是感覺第二行與第三行的數值之間存在著某種關係？我們計算一下第二行與第三行之間的比值，我們把這個比值記為大寫字母A。
我們發現其中好幾個比值的分子都是3，於是我們將這些分數的分子都化成3，看看能發現什麼規律。
通過表格分析法，我們提出了猜想，要證明這個猜想，可以使用數學歸納法。在前面，我們已經完成了。
通過今天這個題目，大家回顧了數學歸納法，通過立方差公式推導出了從1開始的連續正整數平方和的計算公式，還通過表格分析 找到了規律。
有個小提示：大家在做題的時候，即便是在草稿紙上演算的時候，也要注意條理，有助於我打開思路；另外在計算的時候要注意細心。
多元視角
從1開始到n連續自然數平方求和公式：n(n+1)(2n+1)/6。我是王老師，致力於小學數學的精品問答！這個公式在小學階段只要會靈活運用即可，不需要去了解公式推導過程，記憶這個公式也比較容易，第三項為前兩項和。本著知其然更要知其所以然，今天王老師帶大家瞭解下公式推導的方法。
公式推導
關於平方求和公式，推導方法還是很多，我選個最容易理解的吧。
三個相同三角形數列①②③。
數列① 1²，2²，3²，…n²排列
數列的數和即為所求。
→ ①繞三角形中心順時針旋轉120°得到②
→ ②順時針旋轉120°得到③。
觀察
三個三角形數列每個對應位置數字和都為2n+1。
如圖三種顏色圈之和。
我們只要求出每個三角形數列有多少位置，就有多少2n+1
→ 位置數：1+2+3+4+…+n
等差數列求和公式 → 位置數：(n+1)n÷2
3個三角形數列總和：n(n+1)(2n+1)/2
每個三角形數列和：n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+…+ n²=n(n+1)(2n+1)/6。
應用
你學會了嗎？做道練習題試下吧。
①求：1²+2²+3²+…+ 20²
②求：2²+4²+6²+…+ 20²
