清华附中G17级第三次统练解几题速解
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清华附中G17级第三次统练解几题速解
20.（本题15 分）已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),上下两个顶点分别为B1,B2,左右焦点分别为F 1,F2，四边形 B1F1 B2 F2是边长为2√2 的正方形，过P(0,n)(n>2)作直线l交椭圆于D, E 两点.
（I）求椭圆C 的标准方程；
（II）求证：四边形DB1 B2 E对角线交点的纵坐标与D, E 两点的位置无关.
解: （I）易见椭圆C 的标准方程为
（II）令x=2√2X,y=2Y,则有X2+Y2=1,且P’(0,n/2)建立如图坐标系,并记
∠D’OX=2α,∠E’OX=2β,
直线B’1E’:Y=-cot(π/4-β)X+1,直线B’2D’:Y=cot(π/4-α)X-1,解得
YM’= sin(α-β)/cos(α+β),①
直线D’E’:(sin2α-sin2β)X-(cos2α-cos2β)Y+sin2(β-α)=0,
令X=0,得
把②代入①得YM’=2/n,则知yM=4/n.
证毕.
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