解题技巧
知识聚焦
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型：“将军饮马”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
真题例证
1.（四川.内江）如图，已知直线l1∥l2，l1、l 2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ =
A，直线l2 上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ =______．
模型练习
1.如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠ BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+
MN的最小值是=______．
解：
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE＝2MN，
∴CN＝2DE＝4MN，
∴CM＝
在直角△CDM中，CD＝
BC＝3，DM＝
，∴CM＝
，
∴CN＝
．
∵BM+MN＝CN，
∴
BM+MN的最小值为2
．
2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上找到一点P，使PD+PE的和最小，则这个和的最小值是 =______ ．
解：如图，
解题总结
在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点之间
线段最短；
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长；
⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.
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