數是數學研究的對象之一，是代數學的"先行官"，是代數學的"火車頭"。負數概念的引入，數系擴充到有理數的範圍；實數概念的引入，數系擴充到實數的範圍。生活實際的需要，數學本身的發展，需要產生新的數。
數學深刻地影響著哲學。唯物主義哲學家泰勒斯、唯心主義哲學家畢達哥拉斯、創立理念論的柏拉圖等等。古希臘的哲學家崇尚數學、重視數學。
"萬物皆數"是畢達哥拉斯學派的信念，認為數是萬物的本源，"數"與"和諧"是他們的主要哲學思想。柏拉圖認為，存在一個物質世界、一個精神世界，一個諸如正義、智慧、善、美的理念世界，只有通過心靈才能達到對這些永恆理念的理解。"幾何學使靈魂趨向於真理，進而創造出哲學精神"。
從邏輯學的始祖、寫出"三段論"推理方式名著《工具論》的亞里士多德，到倡導歸納法並寫出《新工具》的培根，再到唯理論哲學派別的代表人物笛卡爾、萊布尼茨，數學與哲學在思考：怎樣認知真理？運用何種方法？是演繹法還是歸納法？
19世紀代數學最重大的事件之一是四元數的發現，它是由愛爾蘭數學家哈密頓（1805-1865）於1843年在皇家科學院宣講的，形如a+bi+cj+dk，其中a，b，c，d為實數。
哲學家如此重視數學，而數學又始終影響著哲學。數與形、變與不變、相等與不等、偶然與必然、連續與離散、演繹與歸納、抽象與具體……沒有數學與哲學，我們什麼也看不懂。
辯證法認為矛盾是事物發展的動力。在數學發展的歷史過程中，充滿著矛盾。正與負、加與減、有理數與無理數、連續與離散、有限與無限、抽象與具體、直觀與邏輯、存在與構造等。
當矛盾激化影響數學的根基時，就會產生數學危機。最早把數的概念提到突出地位的是畢達哥拉斯學派，他們很重視數學，企圖用數來解釋一切。他們認為宇宙間的各種關係都可以用整數或整數之比來表示，但是當√2被發現後，就導致了第一次數學危機。
通過修正、補充及理論的創新，數學家們消除矛盾、解決危機，給數學帶來了新的發展。
錯誤有時也美得殘酷。公元前第五世紀，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派倒黴的希勃索斯（Hippasus）發現了一個驚人事實，一個邊長為一的正方形的對角線長度不是有理數。無理數的存在說明了數軸上存在不能用有理數表示的"空隙"，和畢達哥拉斯學派的"萬物皆為數（有理數）"的哲理大相徑庭。學派領袖惶恐、憤怒以後，可憐的希勃索斯被百般折磨，判了極刑。從此畢達哥拉斯學派把守住這一秘密當成學派的頭等大事。
但根號2很快就引起了數學思想的大革命。科學史上把這件事稱為"第一次數學危機"，也讓數學向前大大發展了一步。歷史證明誰都會犯錯，連那些大數學家也不例外，然而這個錯誤帶來的結果似乎殘酷了些。
公元前5世紀，古希臘人點燃了無理教的火種，照亮了實數的廣闊天地，但人類在很長一段時間內不能分享這甘美的"人類智慧之果"
直到19世紀後期，著名數學家魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾的傑出貢獻為無理數、實數理論的建立打下了堅實的基礎。
隨著無理數概念的引入，把數系擴張到了實數的範圍。詩人高笑曾寫過《√２的自白》。
√2的自白
畢達哥拉斯聲名高貴，只承認整數分數的地位。
用不著和權勢者爭辯，
戴著無理的帽子也全不理會實數沒有我就不完備，
我自代表著優秀的一類。
默默地填補著有理數間的空白，
讓事實宣佈高貴者的愚昧！
例１. √２的有理逼近。
解析：√２的有理逼近的基本方法有：夾逼法、方程法等。
估計√2在1和2之間，設√2=1+a。
變式.造一種方法，用有理數逼近√2。
√２，π是常見的無理數，但可以用有理數的形式表示如下。
例2.紙是人們學習和工作不可或缺的物品，而紙的尺寸是怎樣確定的呢？
印刷廠工人把一張長方形的標準紙（如圖①），對摺1次，分為兩半，每一半都是原來的１/２，稱為對開（即2開）；對摺2次，得2^2=4張，每一張都是原來的１/４，稱為4開；對摺3次，得2^３=8張，每一張都是原來的１/８，稱為8開……對摺5次，得2^５=32張，每一張都是原來的１/３２，稱為32開。
一張國際標準尺寸的紙，應符合下列兩個條件：
（1）它的面積為1平方米；（2）經過若干次對開，所得各種大小不同的長方形形狀都相同（即長和寬之比都相等）。這張國際標準尺寸紙的長和寬到底各是多少呢？（精確到1毫米）。
由此可見，國際標準紙的長為1189毫米，寬為841毫米，面積為1平方米，長與寬之比為x:y=1189：841~7：5。
我國32開用的標準紙長為1168毫米，寬為850毫米，面積為1168×850~0。993（平方米），差不多為1平方米，長與寬之比為1168：850~7：5，這就是說，我國32開用的標準紙與國際標準紙是相符的。
要證一個數是有理數，常證這個數能表示成幾個有理數的和、差、積、商的形式；要證一個數是無理數，常用反證法，即假設這個數是有理數，設法推出矛盾。
"若言琴上有琴聲，
放在匣中何不鳴？
若言聲在指頭上，
何不於君指上聽？"
這是蘇軾的《琴詩》，這樣的判斷與數學中的反證法有相同的意境。
黃金分割就是
，約等於1.618。這個數字的冪次會越來越接近整數，比如它的17，18，19次方：
這其實是原因的，因為黃金分割比屬於無理數里比較特別的一種稱為PV數，這種數字在"三維世界的黃金比例-塑料常數"中也提到過，請大家自行查閱。
兩個實數的比例如果是有理數，我們稱這兩個實數有理相關。在力學上，震動頻率的有理相關會引起共振，而共振會帶來系統的不穩定。舉個小例子，如果人在木橋上走動的頻率與木橋晃動的固有頻率有理相關，就會引起危險的共振現象。
再舉個例子，太陽系在火星和木星之間有眾多的小行星，形成一個小行星帶。已發現並確認的就有幾十萬顆。這些小行星在太空中的分佈和它們的軌道穩定性有密切關係。如果小行星繞太陽的運動週期和木星的週期比例是有理數，這就形成共振，它們之間的相互影響就會很大，這些影響往往會導致小行星軌道的不穩定.
記得在大學的高數課堂上，記得任課老師曾鄭重的說過，無理數比有理數多。我當時很詫異，老師也僅是點到為止，沒有展開來講。直到接觸到《泛函》，才在課本上看到了無理數比有理數多的詳細的數學證明，才知道無理數比有理數還不是多一點，而是多得多。
那麼無理數為啥比有理數多呢，假如你不知道那個數學證明，你會如何判斷誰多誰少呢？我覺得這是一個哲學命題，可以進行適當的哲學思考。世界既是秩序的，也是混沌的，和諧有序的秩序都誕生於混沌之中，而且秩序都是局部的，不是全局的。
