【例題】
27.已知C為線段AB中點，∠ACM＝α．Q為線段BC上一動點（不與點B重合），點P在射線CM上，連接PA，PQ，記BQ＝kCP．
（1）若α＝60°，k＝1，
①如圖1，當Q為BC中點時，求∠PAC的度數；
②直接寫出PA、PQ的數量關係；
（2）如圖2，當α＝45°時．探究是否存在常數k，使得②中的結論仍成立？若存在，寫出k的值並證明；若不存在，請說明理由．
圖1
【涉及考點】三角形綜合題．
【解題分析】
（1）如圖1，作輔助線，構建等邊三角形，證明△ADC為等邊三角形．根據等邊三角形三線合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°；
②作輔助線，證明△PCD'≌△PCQ，可得PA＝PQ；
（2）存在k=根號2，如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明△PAD≌△PQC（SAS）．可得結論．
【詳細解答過程】解：（1）①如圖1，在CM上取點D，使得CD＝CA，連接AD，
圖2
∵∠ACM＝60°，
∴△ADC為等邊三角形．
∴∠DAC＝60°．
∵C為AB的中點，Q為BC的中點，
∴AC＝BC＝2BQ．
∵BQ＝CP，
∴AC＝BC＝CD＝2CP．
∴AP平分∠DAC．
∴∠PAC＝∠PAD＝30°．
②如下圖，將△APD繞點A順時針旋轉60°得△AD'C，連接CD'，
圖3
∴∠ACD'＝∠ADP＝60°，AP＝AD'，∠PAD'＝60°，CD'＝PD，
∴△APD'是等邊三角形，
∴PD'＝AP，
∵k＝1，
∴BQ＝CP，
∵CD＝AC＝BC，
∴PD＝CQ＝CD'，
∵∠PCQ＝180°﹣∠ACP＝120°，
∠PCD'＝∠ACP+∠ACD'＝120°，
∴∠PCD'＝∠PCQ，
∴△PCD'≌△PCQ（SAS），
∴PD'＝PQ，
∴PA＝PQ；
（2）存在k=根號2，使得②中的結論成立．
證明：過點P作PC的垂線交AC於點D．
圖4
∵∠ACM＝45°，
∴∠PDC＝∠PCD＝45°．
∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．
∵CD=根號2PC,BQ=根號2PC，，
∴CD＝BQ．
∵AC＝BC，
∴AD＝CQ．
∴△PAD≌△PQC（SAS）．
∴PA＝PQ．
【總結】
這道題屬於三角形的綜合題，考查三角形全等的性質和判定、等邊三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是作輔助線，構建等邊三角形和三角形全等，難度適中，屬於中考常考題型之一．
圖5
