拉格朗日中值定理：
拉格朗日中值定理說，如果一個函數f(x)在閉區間[a,b]上是連續的，在開區間(a,b)內可導，那麼在(a,b)內至少存在一點ξ，使得
或
拉格朗日中值定理的意思就是：
連接圖像上兩個點 A、B畫一條線，要求畫出的線每個點都連續可導，那麼你畫出的這條線中至少會有一個點處的切線是與連接 A、B的直線平行的。
我們可以用一個直觀的例子說明這個中值定理的意思：
有一輛汽車加速行駛，用8秒時間將距離從0推進到200米，很容易算出這8秒鐘內汽車的平均速度為25米/秒，那麼在這8秒內一定有某一時刻汽車的速度正好是25米/秒。
下面，柯西表示有話要說：
柯西中值定理：
柯西中值定理說，如果函數f(x)和F(x)在閉區間[a,b]上是連續的，在開區間(a,b)內可導，並且對任一x∈(a,b)有F'(x)≠0，那麼在(a,b)內至少存在一點ξ，使得
這樣寫可能不好理解，但是我們變化一下大家看是不是就很熟悉了：
這不就是剛才拉格朗日中值定理的別墅二層小樓形式麼，所以這裡就不過多解釋
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。其幾何意義為，用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行於兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式。
柯西中值定理粗略地表明，對於兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，弧的切線通過其端點平行於切線。
與拉氏定理的聯繫
在柯西中值定理中，若取g(x)=x時，則其結論形式和拉格朗日中值定理的結論形式相同。
因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。
證明：
幾何意義
若令u=f(x) , v=g(x)，這個形式可理解為參數方程，而f(b)-f(a)/g(b)-g(a)則是連接參數曲線兩端點弦的斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲線上某點處切線的斜率，在定理的條件下，結論可理解如下：
用參數方程表示的曲線上至少有一點，在這一點處的切線平行於連接兩個端點的弦。
應用例子
1.泰勒公式
柯西中值定理最主要的應用是證明帶有拉格朗日餘項的n階泰勒公式，只要反覆使用柯西中值定理多次就能證明，下面以n=1為例說明。
例 1
設f(x)在(a,b)內二次可微，證明：任意的x , x0∈(a,b)，在x , x0之間存在ξ，使
這就是函數f(x)在點x0鄰域內的一階泰勒公式。
證明：令
G(x)=(x-x0)²利用
在兩次應用到柯西中值定理後可以得到：
命題得證。
2.洛必達法則
柯西中值定理的一個最重要的應用就是可以推導計算待定型的極限最有效的方法——洛必達法則。
洛必達法則是求兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限。在滿足一定條件下可以化成兩個函數的導數的比值極限，這樣就有可能使得原待定型變成簡便而有效的求非待定型極限的問題。
我們得出下面這個定理（洛必達法則）：
⑴ 兩個函數f(x)和g(x)在開區間(a,b)可微，並且在這個開區間上，g(x)的導數不等於0；
⑵ 存在極限
其中A為一個有限的常數。則在以下情況下：
或者
那麼就有：
在區間的另一個端點也存在相類似的結果。這個定理就稱之為洛必達法則，能有效地應用於待定型的極限計算。
3.不等式
柯西中值定理在不等式的證明也有廣泛應用，關鍵是f(x)和g(x)要選得恰當。
例2
試證明當x>0時，1+x ln(x+√1+x²)>√1+x²。
證明：設
則f(t)和g(t)在區間[0,x]上滿足柯西中值定理條件，所以存在ξ∈(0,x)，使
即
結論得證。
4.中值點
中值點的存在性的證明是柯西中值定理最典型的應用之一。
例3
設a>0，函數f(x)在區間[a,b]上連續，在(a,b)內可導，則存在ξ∈(a,b)，使得
證明：設F(x)=f(x)/x，G(x)=1/x，顯然F(x),G(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理的條件，於是存在ξ∈(a,b)，使得
即存在ξ∈(a,b)，使得
即可得結論。
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