第21题
（2018秋•鄂州期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DF＝EF．
【热门考点】全等三角形的判定与性质．
【解题思路】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．
（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，再△DBF≌△EAF（SAS），得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，所以△DEF为等边三角形．即可得到DF＝EF．
【解答】解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中，
第22题
（2018秋•黔东南州期末）如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC＝AB．
【热门考点】全等三角形的判定与性质．
【解题思路】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠F，然后求出∠1＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．
【解答】（1）证明：如图，∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠F，∠1＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
【解题技巧】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
第23题
（2018秋•高州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
【热门考点】全等三角形的判定与性质．
【解题思路】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；
（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG＝EF．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【解题技巧】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
第24题
（2017秋•沙坪坝区校级月考）如图、在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．
（1）求证：AF＝CD；
（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．
【热门考点】全等三角形的判定与性质．
【解题思路】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△ADB≌△ADG（SAS），和△ABF≌△CGD（SAS），可得AF＝CD；
（2）作辅助线，构建三角形全等，证明△AEO≌△AHO和△CDO≌△CHO，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，取AC的中点G，连接DG，
【解题技巧】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度．
第25题
（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝ 25° ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结
【热门考点】全等三角形的判定与性质．
【解题思路】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可
②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
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