第21題
（2018秋•鄂州期末）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立；請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是直線l上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：DF＝EF．
【熱門考點】全等三角形的判定與性質．
【解題思路】（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由條件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，結合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結論．
（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，再△DBF≌△EAF（SAS），得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，所以△DEF為等邊三角形．即可得到DF＝EF．
【解答】解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中，
第22題
（2018秋•黔東南州期末）如圖，已知AD∥BC一點E為CD上一點，AE、BE分別平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延長線於點F．
（1）求證：△ABE≌△AFE；
（2）求證：AD+BC＝AB．
【熱門考點】全等三角形的判定與性質．
【解題思路】（1）根據角平分線的定義可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠2＝∠F，然後求出∠1＝∠F，再利用“角角邊”證明△ABE和△AFE全等即可；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得BE＝FE，然後利用“角邊角”證明△BCE和△FDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BC＝DF，然後根據AD+BC整理即可得證．
【解答】（1）證明：如圖，∵AE、BE分別平分∠DAB、∠CBA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠F，∠1＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
【解題技巧】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．
第23題
（2018秋•高州市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB於點E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE於點F，DF的延長線交AC於點G，
求證：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
【熱門考點】全等三角形的判定與性質．
【解題思路】（1）根據已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，從而得到對應角相等，再根據同位角相等兩直線平行，得到DF∥BC；
（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，則GF⊥AC，再根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到FG＝EF．
【解答】（1）證明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【解題技巧】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的判定、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬於中考常考題型．
第24題
（2017秋•沙坪壩區校級月考）如圖、在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC於點D，延長DB點F，使BF＝BD，連接AF．
（1）求證：AF＝CD；
（2）若CE平分∠ACB交AB於點E，試猜想AC、AF、AE三條線段之間的數量關係，並證明你猜想的結論．
【熱門考點】全等三角形的判定與性質．
【解題思路】（1）作輔助線，構建三角形全等，證明△ADB≌△ADG（SAS），和△ABF≌△CGD（SAS），可得AF＝CD；
（2）作輔助線，構建三角形全等，證明△AEO≌△AHO和△CDO≌△CHO，可得結論．
【解答】（1）證明：如圖1，取AC的中點G，連接DG，
【解題技巧】本題考查了角平分線的定義，三角形全等的性質和判定，作輔助線，構建三角形全等是關鍵，有難度．
第25題
（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點，以AD為一條邊在AD的右側作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．
（1）如圖，當點D在BC延長線上移動時，若∠BAC＝25°，則∠DCE＝ 25° ．
（2）設∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①當點D在BC延長線上移動時，α與β之間有什麼數量關係？請說明理由；
②當點D在直線BC上（不與B，C兩點重合）移動時，α與β之間有什麼數量關係？請直接寫出你的結
【熱門考點】全等三角形的判定與性質．
【解題思路】（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根據三角形外角性質求出即可；
（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根據三角形外角性質求出即可
②α+β＝180°或α＝β，根據三角形外角性質求出即可．
【解答】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
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