新春快樂！新年到，智慧到~準備好在數學的海洋裡遨遊嗎？
頭條網友（ ） 提了這樣一組非常有意思的題目：
題一：已知a,b為互不相等的實數，且滿足
求乘積ab以及上面表達式的值。
題二：已知a,b,c為互不相等的實數，且滿足
求乘積abc以及上面表達式的值。
題三：已知a,b,c,d為互不相等的實數，且滿足
求乘積abcd以及上面表達式的值。
這三個題目都是關於不定方程的計算。方程數比未知量少一個，故沒有完全約束，有一個變量可以是自由變量 。由簡到繁，層層遞進，變量數目依次遞增，可以一直推廣下去。接下來是解答。
解答
題一：很簡單，方法也多種多樣。舉四個方法：
方法一：原式變形得
記新得到的表達式等於k。則a,b是函數方程：
的兩個根。也就是a,b是方程
的兩個根。由韋達定理，得ab=-1。於是
方法二：原式變形得
因a≠b,故
方法三：設
則
取a為自由變量。因最後一式對任意a成立，故m=0。即ab+1=0,ab=-1。
方法四：遇到不定方程，最簡單的方法就是特殊值帶入。
顯然，a=1,b=-1是一組解。於是ab=-1,原式等於1-1=0。保險起見，再取一組a=2,計算得b=-1/2。也有ab=-1,原式等於2-2=0。
如果題目有多解，那麼這個方法就不容易把所有解都找出來（第二題就會看到）。
題二：稍顯複雜，題一的前兩個方法不能用了，方法三可以一試，方法四最為簡單。而且建議先用方法四，因為很多情況下，處理這種問題，我們都是先找特殊值帶入，得到結果，然後在結果的“指導”之下，進行計算和證明的。
不妨取a=1,則有
根據首尾兩個式子，立得1/b=c，bc=1。故abc=1。
這就完了嗎？會不會有其他結果呢？
不妨取a=-1,則有
根據首尾兩個式子，同樣立得1/b=c，bc=1。故abc=-1。
還可以等於-1。
還有其他結果嗎？小編試了試，沒有找到了。應該就這兩個值了。
真的嗎？
還是需要證明，不然心裡總不踏實。
證明如下：
原等式組可以寫成如下三個等式：
相乘，得
接下來計算表達式的值。採用方法三。
將a視為自由變量。設
則
由a的任意性，知m^2-1=0,m=±1。當然，最後一步也可以根據abc=±1解出m,稍微簡單一些。
題三：到這一步，基本規律應該看出來了。就不需要特殊值帶入了，同上一步的證明，我們有
接下來計算表達式的值。採用方法三。
其實上面題二中有個小技巧，或者說小聰明：運用首尾兩個式子，分別計算b=b(a),c=c(a)消去了b和c。然後再利用中間的表達式作為方程計算m。這個小技巧對於多個變量就不太適用了。
所以，拋去小聰明，不要小技巧，按部就班，把方法程序化，這樣才能適用更復雜的情形。
將a視為自由變量。設
第一步：根據第一個等號，解出b:
第二步：根據第二個等號，解出c:
第三步：根據第三個等號，解出d:
由abcd=±1，得
對任意a成立，故
對於五個，六個，乃至更多變量的情形，上面的程序化方法都適用：根據乘積為±1，計算表達式m的值。
思考
現在，仔細想想上面這個程序過程，每一步的計算很像什麼？根據a計算b；再根據b計算c；再根據c計算d...這樣一步一步，不斷進行，本質上，就是一個
函數迭代！以第三題為例。仍然設
記函數
則有
根據最後一個等式，由a的任意性，其實就是
推廣到關於任意n個變量的情形，問題本質上就是：
已知函數
且滿足它的n次迭代
求m。
（n取最小值，因為如果n是“週期”，那麼2n,3n,4n...也是“週期”）
帶著這個觀點，我們把原來的題目再回顧一遍。
題一:
題二：
題三：
不驗證了。。。
事實上，這不僅是驗證，帶著新觀點，我們同樣可以計算m。
根據表達式，可以算出函數n次迭代的最終結果，f^(n)(x)。根據f^(n)(x)=x可直接計算出m。
不過，這個f^(n)(x)的表達式有點複雜，學過數學競賽的應該知道，可以用特徵值-不動點法計算這類分式函數的迭代。
這裡直接放結果：
如果對函數
有兩個相異的不動點
則
對題一，n=2,f^(2)(x)=x,有
對題二，n=3,f^(3)(x)=x,有
對題三，n=4,f^(4)(x)=x,有
推廣到五個數的情形，就是n=5,f^(5)(x)=x,有
有四個值。
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