新春快乐！新年到，智慧到~准备好在数学的海洋里遨游吗？
头条网友（ ） 提了这样一组非常有意思的题目：
题一：已知a,b为互不相等的实数，且满足
求乘积ab以及上面表达式的值。
题二：已知a,b,c为互不相等的实数，且满足
求乘积abc以及上面表达式的值。
题三：已知a,b,c,d为互不相等的实数，且满足
求乘积abcd以及上面表达式的值。
这三个题目都是关于不定方程的计算。方程数比未知量少一个，故没有完全约束，有一个变量可以是自由变量 。由简到繁，层层递进，变量数目依次递增，可以一直推广下去。接下来是解答。
解答
题一：很简单，方法也多种多样。举四个方法：
方法一：原式变形得
记新得到的表达式等于k。则a,b是函数方程：
的两个根。也就是a,b是方程
的两个根。由韦达定理，得ab=-1。于是
方法二：原式变形得
因a≠b,故
方法三：设
则
取a为自由变量。因最后一式对任意a成立，故m=0。即ab+1=0,ab=-1。
方法四：遇到不定方程，最简单的方法就是特殊值带入。
显然，a=1,b=-1是一组解。于是ab=-1,原式等于1-1=0。保险起见，再取一组a=2,计算得b=-1/2。也有ab=-1,原式等于2-2=0。
如果题目有多解，那么这个方法就不容易把所有解都找出来（第二题就会看到）。
题二：稍显复杂，题一的前两个方法不能用了，方法三可以一试，方法四最为简单。而且建议先用方法四，因为很多情况下，处理这种问题，我们都是先找特殊值带入，得到结果，然后在结果的“指导”之下，进行计算和证明的。
不妨取a=1,则有
根据首尾两个式子，立得1/b=c，bc=1。故abc=1。
这就完了吗？会不会有其他结果呢？
不妨取a=-1,则有
根据首尾两个式子，同样立得1/b=c，bc=1。故abc=-1。
还可以等于-1。
还有其他结果吗？小编试了试，没有找到了。应该就这两个值了。
真的吗？
还是需要证明，不然心里总不踏实。
证明如下：
原等式组可以写成如下三个等式：
相乘，得
接下来计算表达式的值。采用方法三。
将a视为自由变量。设
则
由a的任意性，知m^2-1=0,m=±1。当然，最后一步也可以根据abc=±1解出m,稍微简单一些。
题三：到这一步，基本规律应该看出来了。就不需要特殊值带入了，同上一步的证明，我们有
接下来计算表达式的值。采用方法三。
其实上面题二中有个小技巧，或者说小聪明：运用首尾两个式子，分别计算b=b(a),c=c(a)消去了b和c。然后再利用中间的表达式作为方程计算m。这个小技巧对于多个变量就不太适用了。
所以，抛去小聪明，不要小技巧，按部就班，把方法程序化，这样才能适用更复杂的情形。
将a视为自由变量。设
第一步：根据第一个等号，解出b:
第二步：根据第二个等号，解出c:
第三步：根据第三个等号，解出d:
由abcd=±1，得
对任意a成立，故
对于五个，六个，乃至更多变量的情形，上面的程序化方法都适用：根据乘积为±1，计算表达式m的值。
思考
现在，仔细想想上面这个程序过程，每一步的计算很像什么？根据a计算b；再根据b计算c；再根据c计算d...这样一步一步，不断进行，本质上，就是一个
函数迭代！以第三题为例。仍然设
记函数
则有
根据最后一个等式，由a的任意性，其实就是
推广到关于任意n个变量的情形，问题本质上就是：
已知函数
且满足它的n次迭代
求m。
（n取最小值，因为如果n是“周期”，那么2n,3n,4n...也是“周期”）
带着这个观点，我们把原来的题目再回顾一遍。
题一:
题二：
题三：
不验证了。。。
事实上，这不仅是验证，带着新观点，我们同样可以计算m。
根据表达式，可以算出函数n次迭代的最终结果，f^(n)(x)。根据f^(n)(x)=x可直接计算出m。
不过，这个f^(n)(x)的表达式有点复杂，学过数学竞赛的应该知道，可以用特征值-不动点法计算这类分式函数的迭代。
这里直接放结果：
如果对函数
有两个相异的不动点
则
对题一，n=2,f^(2)(x)=x,有
对题二，n=3,f^(3)(x)=x,有
对题三，n=4,f^(4)(x)=x,有
推广到五个数的情形，就是n=5,f^(5)(x)=x,有
有四个值。
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