最近有腳友諮詢遞推最小二乘法估算輪胎側偏剛度的問題，這個問題挺有代表性的，很多模型參數估計的問題都可以用這個方法解決。所以今天花時間學習下，並把個人的理解分享給大家。
理論篇
如果想系統學習某領域的理論，最好的辦法是買一本相關書籍或者下載幾篇優秀的論文，閱讀了幾篇文章之後，總結如下。
定性來看，最小二乘法就是求解一個多元一次方程組，在已知輸入、輸出的前提下去估算係數，使得實際值與估算值之差的平方和最小。假設需要求解的係數（即需要估計的模型參數）有m個，那麼至少需要採集m組以上的數據，方程才有解。當採集的數據剛好為m組時，方程有唯一解，即求解一個m元一次方程組。
一般情況下，採集的數據可以有很多組。當通過傳感器實時採集時，就可以實現模型參數的在線估計，這就是本文要談的遞推最小二乘法。
最小二乘法的基本思路是對系統模型進行變換，把系統狀態矩陣、輸入矩陣中的參數變為狀態量，如下式。
其中z(k)、h(k)代表某一組觀測數據，可以由輸入量、輸出量等任何系統可觀測的信號構成，θ代表待估計的模型參數。
然後推導出比較核心的遞推公式如下（具體推導過程可參考相關論文）：
在已知h(k)的前提下，根據前一時刻的P(k-1)可以計算出當前時刻的K(k)，知道了K(k)又可以計算出θ(K)，P(k)也可以根據K(k)和p(k-1)計算。當然，P(0), θ(0)等初始值需要直接給定。
工具篇
Simulink中有現成的Recursive Least Squares Estimator（RLS）模塊，用於遞推最小二乘法估計，其模塊如下圖。
把系統的迴歸量和輸出量作為輸入，模塊會自己進行迭代計算，逐步計算待估計參數。具體模塊設置可參考幫助文檔。
這個模塊本質上就是把上面三個核心的遞推公式封裝起來了。
應用篇
這裡舉一個實際的例子來進行模型參數估計。
假如有這樣系統，其狀態空間方程表達式為：
用矩陣形式可表示為：
對於這個系統，給定輸入u可以得到x1，x2。
對於一個黑盒系統，在得到這些輸入輸出量以後，就可以通過最小二乘法來估計系統參數m、n。需要對以上的狀態空間方程進行變換：
用矩陣形式可表示為（綠色為輸入矩陣，紅色為輸出矩陣）：
為了採集數據，我們可以先給定m,n的數值，例如：
給定一個輸入u，通過構造輸出矩陣就可以得到x1，x2的數據了，獲取數據模型如下圖。
需要強調的是，在實際的操作上，我們並不知道系統的狀態空間方程，這些輸入輸出數據都是通過傳感器採集的。這裡直接給出具體的狀態空間方程，僅為了從仿真的角度獲取數據。
在有了u，x1，x2之後，我們可以很方便得到上面的紅色輸出矩陣、綠色輸入矩陣。這裡選擇第一行的等式作為RLS模塊的輸入即可，搭建對應的估計模型如下圖。
把對應的輸入輸出量給到RLS模塊接口，就完成了估計模型的搭建。
運行模型，RLS模塊輸出的參數估計結果如下圖。m，n的估計結果很快就收斂了，分別為1.961，0.9908，與真實值m=2,n=1差距較小，估計結果正確。
以上，簡要介紹了Simulink中使用遞推最小二乘法進行參數估計的方法，總結來看分為三步：
1、建立系統狀態空間方程；
2、進行狀態空間方程變換；
3、利用觀測數據構造RLS模塊輸入信號。
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