題目
有n×n（n≥4)的一張空白方格表，在它的每一個方格內任意的填入+1與-1這兩個數中的一個，現將表內n個兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數的乘積稱為一個基本項．試證明：按上述方式所填成的每一個方格表，它的全部基本項之和總能被4整除（即總能表示成4k的形式，其中k∈Z）．
證明：假設方格中已經填好了+1，或者-1，一個基本項必然是1，2，…,n行各取一個，現在取一個基本項，其第1個數可以從n行中任意選取，第2個則從餘下的n-1行中任意選取，。。。。，故不同的基本項總計有n！，考慮到題設n>3,則n!必然是4的倍數，設為4m，其中m是整數。對任意位置的方格aij
，由於含有aij的基本項的其餘n-1個數是從除去第i行，第j列的餘下的子（n-1）x（n-1）子方格表取一個基本項得來的，所以總計有（n-1）！個基本項包含有aij。這意味著如果將所有基本項相乘，實際可看作每個aij自乘了（n-1）!次後，再互相乘起來，由於n>3,(n-1)!是偶數，也就是說，全部基本項的乘積為+1，這意味著乘積為-1的基本項項數是個偶數，設基本項乘積為-1的項數是2l，l是整數，則乘積為1的基本項項數是4m-2l。對於基本項之總和來說，每個為+1的基本項貢獻一個1，而每個為-1的項目貢獻為-1，故全部基本項之和為4m-2l-2l=4（m-l），即為4的倍數，能被4整除。
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