在用微积分的方法，求一个曲线四边形的面积时，我们会将它进行了无限分割。每一个无限小的分割单元，我们把它看作是一个无限近似的矩形。进而，求得一个矩形的面积：
f'(x)Δx。f'(x)会对应一个原函数y=f(x)，那么，f'(x)Δx就是原函数y=f(x)的微分。我们以函数曲线y=x^2+1为例，在区间x∈[0，2]上，围合成一个曲线四边形，如下图：
图一
在x 处，我们求得微分(x^2+1)*Δx。然后，进行积分，就求得：
S= ∫(x^2+1)*dx，x∈[0，2]=1/3*2^3+2=14/3。
我们回头再仔细看一遍图一。有眼力好的，一定看到了那块蓝色的细小图形。在计算微分时，它是被忽略掉的。
那么问题来了，它是更像三角形，还是长方形？
图形太小，我们放大了来看，如下图：
图二
我要说它是个长方形，你信吗？
好吧，我们换个简单好计算的图形，来分析一下。
如上图，同样的区间x∈[0，2]上，函数曲线
y=x围合成一个等边直角三角形。我们先用微积分的方法，在宏观维度强行推演一下计算过程。
我们把x∈[0，2]分成10等分，那么一共有10个Δx，每个Δx=0.2。
在微积分的方法下，绿色小三角是要被忽略掉的面积，而蓝色的长方形是另外增加的面积。因为在x=2的后面还有一个增量Δx，所以要被积分的微分x*Δx，其实有11个。
我们分别计算一下，绿色小三角形面积之和s1与蓝色长形的面积s2：
s1=1/2*Δx*Δx*10=5Δx^2=0.2;
s2=2*Δx=0.4; 结果s2=2s1。
微积分的方法告诉我们，只要往无限小的维度推进，绿色小三角形面积之和一定要等于蓝色长方形的面积。
而现在，两者的面积比例恰好是1:2。如果，我们把绿色小三角形把当正方形算，那s1是不是就可以等于s2？
回到图一，我们作一次严格点的计算。
再次强度一下，虽然区间x∈[0，2]被分割成了N等分，但总体被积的微分单元是N+1个，如下图：
第n+1个微分单元（紫色）的面积：a=(x^2+1)*Δx=(2^2+1)*Δx=5Δx。
被忽略掉的图形（蓝色），我们暂时按三角形看待，它的面积通式：Δb=1/2{[(x+Δx)^2+1]-(x^2+1)}*Δx。
我们从起点x=0开始算，第1个三角形面积：
Δb1=1/2{[(x+Δx)^2+1]-(x^2+1)}*Δx=1/2{[(Δx)^2+1]-1}*Δx。
保留通项形式完整，我们不作进一步计算。因为X轴上的微分增量是Δx，我们得到从第2个到第n三角形的面积如下：
Δb2=1/2{[(2Δx)^2+1]-[(Δx)^2+1]}*Δx；
Δb3=1/2{[(3Δx)^2+1]-[(2Δx)^2+1]}*Δx；
......
Δb(n-1)=1/2{[((n-1)Δx)^2+1]-[((n-2)Δx)^2+1]}*Δx；
Δbn=1/2{[(n*Δx)^2+1]-[((n-1)Δx)^2+1]}*Δx。
我们可以看出来，前一式子里的被减数就是后一式子里的减数，求和时相加为零，都会被消掉，所以有：
b=∑Δb=Δb1+Δb2+...+Δb(n-1)+Δbn=1/2{[(n*Δx)^2+1]-1]}*Δx=1/2*5Δx。（n*Δx=2）
结果：a=2b。第N+1微分单元的面积，还是这些小三角形面积之和的两倍。
我们换算一下式子，得a-b=5/2*Δx。这个5/2*Δx，能不能叫做“用微积分方法求面积所造成的误差”？
显然不是！
要知道，
5/2*Δx依然是一个无穷小的量。小到不能再小哦！什么样的计算，才会造成这么小的、完全可以忽略不计的误差？
到此，我们有理由相信，对于求那些被忽略掉的微小图形的面积，我们仍然用传统的方法作计算是错误的，这很不”微积分“！。
在无究小的微观世界里，遵从着与宏观世界不一样的法则。宏观上看到的”小三角形'，在微观上看就矩形。
所以，b应该等于5Δx！于是，a=b，完美！
也或者，在微观视角下，它们都不能被叫做”图形“，微分x*dx也不是在表达乘积关系，而只是描述两个微观向量。
用微分描述完整的微观向量，再用积分转换成宏观计算式，所得的结果是精准的，并不是近似计算。
在学习微积分时，一定要抛弃传统的观念。因为，在等号的两端，存在着不一样的维度空间。
不同于满布崎岖的宏观世界，在微观的尽头真的没有弯曲！
閱讀更多 設計勞斯基 的文章
