提起正十七边形，对数学有些了解的人都会想起一个名字：数学王子—— 高斯。
高斯在19岁时就成功证明了正十七边形可以用尺规作图作出，并构造出了正十七边形的做法。之后，他还给出了可用尺规作出的正多边形需要满足的条件。要知道，尺规作图正十七边形可是数学界两千多年悬而未决的难题，连阿基米德，牛顿都没能成功，但高斯仅仅用了一个晚上，就成功解决了这个难题。
素材来源；网络
然而今天我们的主角并不是高斯，而是他手中的正十七边形（高斯的故事有空再讲）。
Part 1：尺规作图是个什么东西
尺规作图起源于古希腊，在当时是一门数学课题，指用没有刻度的直尺和圆规作图（且只能构造有限次，否则会出现一些奇怪的做法），来解决各种平面几何作图题。在这个课题里，直尺和圆规被理想化了： 直尺不能标刻度，只能将两点连线，且不能同时使用直尺的两条对边（举个栗子：平行线在这种做法下就很容易了）； 而圆规则可以利用两脚来截取、度量、构造，它可以张至无限宽。
当然，以上的定义并不够严密，古希腊数学家欧几里得将尺规作图的定义严格化了，而现在通用的尺规作图的定义是这样的（懒得看可以直接跳到Part 2，千万别退出）：
承认以下五项前提，有限次运用以下五项公法而完成的作图方法，就是合法的尺规作图。
1. 每次的操作只能是公认允许的基本操作（称为五项作图公法）之一。
2. 每次操作之前，操作者为决定是否操作和进行哪种操作可以进行的逻辑判断，也只能是 公认允许的几种。
五项前提是：
(1) 允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点。
(2) 可以判断同一直线上不同点的位置次序。
(3) 可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序。
(4) 可以判断平面上一点在直线的哪一侧。
(5) 可以判断平面上一点在圆的内部还是外部。
五项作图公法是：
(1) 根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。
(2) 以一个已经确定的点为圆心，以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。
(3) 确定已经做出的相交的两条直线的公共点。
(4) 确定已经做出的相交的圆和直线的公共点。
(5) 确定已经做出的相交的两个圆的公共点。
还有一些基本作图：
(1)作一条线段等于已知线段。
(2)作一个角等于已知角。
(3)作已知线段的垂直平分线。
(4)作已知角的角平分线。
(5)过一点作已知直线的垂线。
(6)已知一角，一边做等腰三角形。
(7)已知两角，一边做三角形。
(8)已知一角，两边做三角形。
古希腊人重视对思维与智力的培养，因此设计，发现了不少尺规作图的难题。其中就包括了三大尺规作图不能问题：三等分角问题，倍立方问题，化圆为方问题；还有只用圆规四等分圆周问题，以及正多边形作法。
Part 2：如此执着的数学家
自古以来，数学家们就像着了魔一样研究着尺规作图问题，不少人为此献出一生的时间，在这个过程中，问题解出的不算多，却出了不少意外收获。
在研究这些问题的过程中，数学家们开始了对圆锥曲线的研究，发现了一些具有特殊性质的曲线，甚至由此与数学中的群论，方程发生了联系。
同时，他们也对此作出了更深入的研究，
1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题，因为只用尺规是画不出2的立方根的，也不可能三等分任意角（需要指出的是，一些特殊角可以三等分）。
1882年林德曼证明了π是超越数，因此化圆为方问题不可能用尺规作图解决，因为这个正方形的边长必定含有π的算术平方根，但是你不可能利用有理数的加减乘除与开方整出π来。
三大问题解决了，那到底哪些正多边形是尺规作图不能作出的呢？
于是数学家又开始了执着的探究，想要寻找出一个规律。
Part 3：高斯的发现
回到开头，高斯究竟是怎么构造出正十七边形的做法的？
首先，高斯已经明白：只要一个正多边形的内角的三角函数可以用数的加减乘除以及开方表示，那么这个正多边形就是可以用尺规作出的。
这时候就有人要问了，为什么是这样的？ 答案是这样的：你可以把直线和圆都代数化，直线对应着一个二元一次方程，圆对应着一个二元二次方程，尺规作图相当于构造由两个方程联立成的方程组的根（就是找交点），然后继续利用这个根去构造方程，因此只需要加减乘除和平方根就够了。
然后，高斯证明了只要正多边形的边数n是费马素数，就能用这样的公式表达。
费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式[2^(2^ⁿ)+1]记为Fn，Fn即为费马数，其中n为非负整数。若2n + 1 是素数，n必须是2的幂。也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有F₀,F₁,F₂,F₃ ,F₄ 五个。 而这五个数分别是3,5,17,257,65537。
高斯就这样证明了这些个正多边形都是可以作出的，用圆规可以做出的正奇边形是3,5,17,257,65537,以及它们两两之积，3×5,3×17,17×257等共31个。而正偶边形则可以用以上的多边形乘以2n构造出来。
那为什么高斯出名的是正十七边形而不是这个发现呢？
答案很真实： 正3边形（其实就是等边三角形）和正4边形（正方形）早就作出来了，正257边形和正65537边形，没那么容易作出来啊！！！
为了让大家理解，我们先搬出正十七边形所对应的三角函数：
然后再搬出推导过程：
设正17边形的一条边对应的中心角为a，则17a = 2π，即16a = 2π - a。
故sin(16a) = -sin(a)
而sin(16a)
= 2sin(8a)cos(8a)
= 4sin(4a)cos(4a)cos(8a)
= 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)
故 -sin(a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)
因 sin(a) 不为0
故16cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a) = -1
用余弦函数积化和差公式进行迭代，有： 2(cos(a) + cos(2a) + ... + cos(8a)) = -1
令 x = cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a)
y = cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a)
则：x + y = -1/2 xy
= (cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a))(cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a))
对xy进行展开, 积化和差, 再利用周期性合并同类项，
有： xy = (1/2)(4cos(a) + 4cos(2a) + ... + 4cos(8a) )
即xy = -1 联立方程组，得： x = (-1 + √17) / 4 y = (-1 - √17) / 4
再设x1 = cos(a) + cos(4a)， x2 = cos(2a) + cos(8a) y1 = cos(3a) + cos(5a)，y2 = cos(6a) + cos(7a)
积化和差，再利用 2(cos(a) + cos(2a) + ... + cos(8a)) = -1
有： x1x2 = -1/4 y1y2 = -1/4
故同法可解x1，x2，y1，y2： x1 = (-1 + √17 + √2 * √(17 - √17)) / 8 x2
= (-1 + √17 - √2 * √(17 - √17)) / 8 y1
= (-1 - √17 + √2 * √(17 + √17)) / 8 y2
= (-1 - √17 - √2 * √(17 + √17)) / 8
最后，由cos(a) + cos(4a) = x1 2cos(a)cos(4a) = y1 可求cos(a)之表达式
当然，只是难画，不是不能画。
本文素材来自于哔哩哔哩up主：木星菌Jupiter，各位可以去支持一下，哦，对了，TA是我朋友，我就帮TA整点活。
閱讀更多 Jupiter不是木星菌 的文章
