提起正十七邊形，對數學有些瞭解的人都會想起一個名字：數學王子—— 高斯。
高斯在19歲時就成功證明了正十七邊形可以用尺規作圖作出，並構造出了正十七邊形的做法。之後，他還給出了可用尺規作出的正多邊形需要滿足的條件。要知道，尺規作圖正十七邊形可是數學界兩千多年懸而未決的難題，連阿基米德，牛頓都沒能成功，但高斯僅僅用了一個晚上，就成功解決了這個難題。
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然而今天我們的主角並不是高斯，而是他手中的正十七邊形（高斯的故事有空再講）。
Part 1：尺規作圖是個什麼東西
尺規作圖起源於古希臘，在當時是一門數學課題，指用沒有刻度的直尺和圓規作圖（且只能構造有限次，否則會出現一些奇怪的做法），來解決各種平面幾何作圖題。在這個課題裡，直尺和圓規被理想化了： 直尺不能標刻度，只能將兩點連線，且不能同時使用直尺的兩條對邊（舉個栗子：平行線在這種做法下就很容易了）； 而圓規則可以利用兩腳來截取、度量、構造，它可以張至無限寬。
當然，以上的定義並不夠嚴密，古希臘數學家歐幾里得將尺規作圖的定義嚴格化了，而現在通用的尺規作圖的定義是這樣的（懶得看可以直接跳到Part 2，千萬別退出）：
承認以下五項前提，有限次運用以下五項公法而完成的作圖方法，就是合法的尺規作圖。
1. 每次的操作只能是公認允許的基本操作（稱為五項作圖公法）之一。
2. 每次操作之前，操作者為決定是否操作和進行哪種操作可以進行的邏輯判斷，也只能是 公認允許的幾種。
五項前提是：
(1) 允許在平面上、直線上、圓弧線上已確定的範圍內任意選定一點。
(2) 可以判斷同一直線上不同點的位置次序。
(3) 可以判斷同一圓弧線上不同點的位置次序。
(4) 可以判斷平面上一點在直線的哪一側。
(5) 可以判斷平面上一點在圓的內部還是外部。
五項作圖公法是：
(1) 根據兩個已經確定的點作出經過這兩個點的直線。
(2) 以一個已經確定的點為圓心，以兩個已經確定的點之間的距離為半徑作圓。
(3) 確定已經做出的相交的兩條直線的公共點。
(4) 確定已經做出的相交的圓和直線的公共點。
(5) 確定已經做出的相交的兩個圓的公共點。
還有一些基本作圖：
(1)作一條線段等於已知線段。
(2)作一個角等於已知角。
(3)作已知線段的垂直平分線。
(4)作已知角的角平分線。
(5)過一點作已知直線的垂線。
(6)已知一角，一邊做等腰三角形。
(7)已知兩角，一邊做三角形。
(8)已知一角，兩邊做三角形。
古希臘人重視對思維與智力的培養，因此設計，發現了不少尺規作圖的難題。其中就包括了三大尺規作圖不能問題：三等分角問題，倍立方問題，化圓為方問題；還有隻用圓規四等分圓周問題，以及正多邊形作法。
Part 2：如此執著的數學家
自古以來，數學家們就像著了魔一樣研究著尺規作圖問題，不少人為此獻出一生的時間，在這個過程中，問題解出的不算多，卻出了不少意外收穫。
在研究這些問題的過程中，數學家們開始了對圓錐曲線的研究，發現了一些具有特殊性質的曲線，甚至由此與數學中的群論，方程發生了聯繫。
同時，他們也對此作出了更深入的研究，
1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬於尺規作圖不可能問題，因為只用尺規是畫不出2的立方根的，也不可能三等分任意角（需要指出的是，一些特殊角可以三等分）。
1882年林德曼證明了π是超越數，因此化圓為方問題不可能用尺規作圖解決，因為這個正方形的邊長必定含有π的算術平方根，但是你不可能利用有理數的加減乘除與開方整出π來。
三大問題解決了，那到底哪些正多邊形是尺規作圖不能作出的呢？
於是數學家又開始了執著的探究，想要尋找出一個規律。
Part 3：高斯的發現
回到開頭，高斯究竟是怎麼構造出正十七邊形的做法的？
首先，高斯已經明白：只要一個正多邊形的內角的三角函數可以用數的加減乘除以及開方表示，那麼這個正多邊形就是可以用尺規作出的。
這時候就有人要問了，為什麼是這樣的？ 答案是這樣的：你可以把直線和圓都代數化，直線對應著一個二元一次方程，圓對應著一個二元二次方程，尺規作圖相當於構造由兩個方程聯立成的方程組的根（就是找交點），然後繼續利用這個根去構造方程，因此只需要加減乘除和平方根就夠了。
然後，高斯證明了只要正多邊形的邊數n是費馬素數，就能用這樣的公式表達。
費馬數是以數學家費馬命名的一組自然數，具有形式[2^(2^ⁿ)+1]記為Fn，Fn即為費馬數，其中n為非負整數。若2n + 1 是素數，n必須是2的冪。也就是說，所有具有形式 2n + 1 的素數必然是費馬數，這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數只有F₀,F₁,F₂,F₃ ,F₄ 五個。 而這五個數分別是3,5,17,257,65537。
高斯就這樣證明了這些個正多邊形都是可以作出的，用圓規可以做出的正奇邊形是3,5,17,257,65537,以及它們兩兩之積，3×5,3×17,17×257等共31個。而正偶邊形則可以用以上的多邊形乘以2n構造出來。
那為什麼高斯出名的是正十七邊形而不是這個發現呢？
答案很真實： 正3邊形（其實就是等邊三角形）和正4邊形（正方形）早就作出來了，正257邊形和正65537邊形，沒那麼容易作出來啊！！！
為了讓大家理解，我們先搬出正十七邊形所對應的三角函數：
然後再搬出推導過程：
設正17邊形的一條邊對應的中心角為a，則17a = 2π，即16a = 2π - a。
故sin(16a) = -sin(a)
而sin(16a)
= 2sin(8a)cos(8a)
= 4sin(4a)cos(4a)cos(8a)
= 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)
故 -sin(a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)
因 sin(a) 不為0
故16cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a) = -1
用餘弦函數積化和差公式進行迭代，有： 2(cos(a) + cos(2a) + ... + cos(8a)) = -1
令 x = cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a)
y = cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a)
則：x + y = -1/2 xy
= (cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a))(cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a))
對xy進行展開, 積化和差, 再利用週期性合併同類項，
有： xy = (1/2)(4cos(a) + 4cos(2a) + ... + 4cos(8a) )
即xy = -1 聯立方程組，得： x = (-1 + √17) / 4 y = (-1 - √17) / 4
再設x1 = cos(a) + cos(4a)， x2 = cos(2a) + cos(8a) y1 = cos(3a) + cos(5a)，y2 = cos(6a) + cos(7a)
積化和差，再利用 2(cos(a) + cos(2a) + ... + cos(8a)) = -1
有： x1x2 = -1/4 y1y2 = -1/4
故同法可解x1，x2，y1，y2： x1 = (-1 + √17 + √2 * √(17 - √17)) / 8 x2
= (-1 + √17 - √2 * √(17 - √17)) / 8 y1
= (-1 - √17 + √2 * √(17 + √17)) / 8 y2
= (-1 - √17 - √2 * √(17 + √17)) / 8
最後，由cos(a) + cos(4a) = x1 2cos(a)cos(4a) = y1 可求cos(a)之表達式
當然，只是難畫，不是不能畫。
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